Question

Seja (a,b,c) uma progressão geométrica de números reais com a ^ 0 . Definindo s = a+b + c , o menor valor possível para s / a é igual a a) 1/2. b) 2/3. c) 3/4. d) 4/5.

Answer 1

Primeiramente, vamos escrever os termos b e c em função de a. Vamos considerar q como a razão da progressão geométrica.

b = a*q
c = a*q²

Então, podemos escrever a soma:

s = a + b + c

s = a + a*q + a*q²

s = a*(1 + q + q²)

s/a = 1 + q + q²

Para que s/a assuma seu valor mínimo, precisamos derivar o valor encontrado e igualá-lo a zero.

s/a ' = 1 + 2q = 0

q = -1/2

Logo, essa função assume valor mínimo quando q=-1/2. Substituindo esse valor, temos:

s/a = 1 - 1/2 + (-1/2)²

s/a = 1/2 + 1/4

s/a = 3/4

Portanto, o menor valor possível para a razão s/a é 3/4.


Alternativa correta: C.

Answer 2

Resposta:

Alternativa C

Explicação passo a passo:

Sendo S = a , b , c uma P.G. pode-se reescrever tal sentença da seguinte forma

S = a + aq + aq²  (sendo q a razão da PG)

Podemos reescrever S como a( 1 + q + q²)

Assim, dividindo S/a temos :

$\frac {a(1 + q + q^{2}) }{a}$  , podemos cortar o a de cima pelo de baixo, chegando em:

1 + q + q²

Com isso, percebemos que teremos uma equação do segundo grau ( ax² + bx + c) , e como o enunciado pede o valor mínimo/ menor valor , podemos utilizar o Yvértice  

Yvértice: $-\frac{b^{2 - 4ac} }{4a}$

observando a equação 1 + q + q² temos que

a = 1

b = 1

c = 1

substituindo na fórmula do Yvértice teremos

$-\frac{1^{2} - 4 *1 *1 }{4 * 1}$

=  $\frac{3}{4}$

Resultado encontrado na alternativa C.

Espero ter ajudado, bons estudos!!