Question

Nessa disciplina aprofundamos os estudos sobre os Vetores no R³, utilizando a representação em três dimensões, ou seja, no espaço. Para tanto, é necessário utilizar três coordenadas: o eixo x (abscissas), o eixo y (ordenadas) e o eixo z (cotas).

Um engenheiro fez o levantamento de uma região demarcando pontos fundamentais, A (1, -5, 9), B (-3, 4, 8) e C ( 7, 1,6), com o propósito de determinar as coordenadas dos vetores (), os módulos respectivos e o valor do cosseno do ângulo determinado pelos dois vetores, com o objetivo de estudar o desempenho de um determinado corpo que se desloca do ponto B ao A e depois do B ao C.

Colaborando com esse engenheiro, apresente:

a.) As coordenadas dos vetores indicados.

b.) O módulo de cada vetor indicado.

c.) O valor do cos β, sendo β a medida do ângulo determinado pelos dois vetores.

Answer 1

Olá,
 
A) Sempre que tivermos dois pontos, o vetor correspondente será a subtração do ponto final e o inicial. Vejamos $BA=(1,-5,9)-(-3,4,8)=(4,-9,1) \\ \\ BC=(7,1,6)-(-3,4,8)=(10,-3,-2)$

B) Sabendo que o módulo de um vetor em R3 é $\sqrt{x^{2}+{y^{2}+z^{2}}$ teremos que $|BA|= \sqrt{16+81+1} = \sqrt{98} \\ \\ |BC|= \sqrt{100+9+4} = \sqrt{113}$


C)  Sabendo que $cos \beta = \frac{BA.BC}{|BA|*|BC|}$ , atenção pois no numerador, temos um produto escalar, e no denominador um produto normal.
Logo $Cos \beta = \frac{65}{ \sqrt{98} * \sqrt{113} } = \frac{65}{ \sqrt{11074} } = 0,6176765 \\ \\ arccos(0,6176765)=57,61$

Note, que já temos o valor do cosseno, para achar o angulo, basta fazer a função inversa, que será a Arco cosseno.

Espero ter ajudado.