Question

Sejam uma PA e uma PG com três termos reais. A soma da PG adicionada à soma da PA é igual a 2. Sabe-se que suas razões são iguais ao primeiro termo da PG e que o primeiro termo da PA é igual a 2. A razão será igual a:

A) – 1
B) 2
C) – 2
D) 1
E) 4

Answer 1

Lembrando da notação especial para uma P.A. de três termos e também para uma P.G. de três termos,temos:

Para uma P.A. de três termos

(x-r,x,x+r) onde “r” é a razão da P.A.

Para uma P.G. de três termos

(x/q,x,xq) onde “q” é a razão da P.G.

ou

(x,xq,xq^2) onde “q” é a razão da P.G.


Conhecendo as ferramentas acima,temos:

Vamos representar a P.A. do exercício,como sendo “(x1-r,x1,x1+r)”,sendo “r” sua razão.

Vamos representar a P.G. do exercício como sendo, “(x2,x2q,x2q^2)”,sendo “q” a sua razão.

Com isso,vamos à questão

(x1-r)+x1+(x1+r)+x2+(x2q)+(x2q^2)=2

r=q=x2

E isso implica que:

3x1+x2+x2.x2+x2.x2^2=2
3x1+x2+x2^2+x2^3=2 (i)

Mas sabemos que (x1-r)=2,mas r=x2,portanto:

x1-x2=2
x1=2+x2 (ii)

Substituindo (ii) em (i),temos:

3(x2+2)+x2+x2^2+x2^3=2
3x2+6+x2+x2^2+x2^3=2
4x2+x2^2+x2^3+6=2
x2^3+x2^2+4x2+6-2=0
x2^3+x2^2+4x2+4=0

Por inspeção,sabemos que x2=-1 é raiz do polinômio cúbico acima.Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini encontraremos outras duas raízes,porém complexas,que por sua vez são iguais a “2i” e “-2i”,o que não convém ao problema.

O exercício nos pede a razão,e pelo fato das duas razões serem iguais ao primeiro termo da P.G.,temos que a razão é:

r=q=x2=-1

Letra a)


Abraçoss!!!