Question

Calcular :Limx=(x-√(3x-2))/(x²-4)

Answer 1

$\lim_{x \to 2} \frac{(x- \sqrt{3x-2}) }{x^2-4}$

multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo
conjugado de A-B = A+B

então temos
$\boxed{\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{(x- \sqrt{3x-2})*(x+ \sqrt{3x-2}) }{(x^2-4)*(x+ \sqrt{3x-2})} }}$

resolvendo essa multiplicaçao
quando vc faz (A+B) * (A-B) vc tem uma diferença dos quadrados porque

 $\boxed{(A-B)*(A+B)} = A^2+AB - BA -B^2 = \boxed{A^2-B^2}$

então a multiplicação no numerador fica

$(x- \sqrt{3x-2})*(x+ \sqrt{3x-2}) \\\\ = (x)^2 -( \sqrt{3x-2} )^2 \\\\=x^2 - (3x-2)\\\\= \boxed{x^2-3x+2}$

a expressão fica

$\boxed{\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{x^2-3x+2 }{(x^2-4)*(x+ \sqrt{3x-2})} }}$

ainda não da pra calcular o limite
escrevendo essa equaçao do numerador na forma fatorada
quando vc escreve uma equaçao do segunda grau na forma fatorada fica

$A*(x-r')*(x-r'')$

r'  e r'' são as raízes da equação 

$x^2-3x+2$

A = 1
B = -3
C = 2
calculando essas raízes por bhaskara ou soma e produto etc

lembrando que quando vc substituiu x por 2 o resultado deu 0 ..então 2 é uma das raízes dessa equaçao

a soma das raízes é igual o coeficiente -b/a
$r' + r'' = \frac{-b}{a}\\\\ 2+r'' = \frac{-(-3)}{1}\\\\r'' = 3-2\\\\ r'' = 1$

as raízes dessa equaçao são 1 e 2

escrevendo na forma fatorada

$A*(x-r')*(x-r'') = 1*(x-1)*(x-2) = \boxed{(x-1)*(x-2)}$

substituindo na expressão
$\boxed{\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)*(x-2)}{(x^2-4)*(x+ \sqrt{3x-2})} }}$

veja tambem que no denominador temos uma diferença dos quadrados
$(x^2-4) = x^2-2^2$

e isso é igual o que vimos no conjugado (A-B)*(A+B) = A² - B²

então
$x^2 - 2^2 = (x-2)*(x+2)$

substituindo na expressão e simplificando com o numerador ja que é tudo uma multplicaçao
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)*(x-2)}{(x-2)*(x+2)*(x+ \sqrt{3x-2})} \\\\ = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)}{(x+2)*(x+ \sqrt{3x-2})} = \frac{(2-1)}{(2+2)*(2+ \sqrt{3*2-2})} = \frac{1}{4*(2+ \sqrt{4})} = \frac{1}{16}$

resposta
$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to 2} \frac{(x- \sqrt{3x-2}) }{x^2-4} = \frac{1}{16} }}$