Question

Dada a equação x^2+x-3=0, calcule a soma dos cubos de suas soluções.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Larizinha, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Dada a equação x² + x - 3 = 0, pede-se para calcular a soma dos cubos da solução da equação acima.

ii) Veja: para encontrarmos a solução da equação acima, vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é dada assim:

x = [-b ± √(Δ)]/2a, sendo Δ = b²-4ac. Então ficaremos assim:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Agora note que a sua equação, que é x²+x-3 = 0, tem os seguintes coeficientes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = 1 --- (é o coeficiente de x)
c = -3 -- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos;

x = [-1 ± √((-1)² - 4*1*(-3))]/2*1
x = [-1 ± √(1+12)]/2 
x = [-1 ± √(13)]/2 ---- daqui você já conclui que:

x' = [-1 - √(13)]/2
e
x'' = [-1 + √(13)]/2

iii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é a soma dos cubos das duas soluções encontradas. Assim, chamando essa soma de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa, teremos:

y = {[-1 - √(13)]/2}³ + {[-1 + √(13)]/2]}³

Note que ao desenvolvermos o cubo em cada uma das expressões acima, iremos ter isto:

- em {[-1 - √(13)]/2}³ iremos ter isto: - 5 - 2√(13)
e
em {[-1 + √(13)]/2}³ iremos ter isto: -5 + 2√(13).

Assim, levando esses dois resultados para a nossa expressão "y", iremos ficar com:

y = - 5 - 2√(13) + (-5) + 2√(13) ----- retirando-se os parênteses de (-5), teremos:

y = - 5 - 2√(13) - 5 + 2√(13) ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

y = - 10 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a soma dos cubos das duas soluções encontradas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.