Question

A equação geral da reta tangente à curva y = x² + x no ponto de abscissa 1 é:

a) 3x – y – 1 = 0

b) 3x – y = 0

c) 2x – y – 1 = 0

d) 2x – y = 0

e) 5x – 2y – 2 = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Itsnet, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a equação geral da reta tangente à curva y = x² + x, no ponto de abscissa igual a "1".

Veja: para encontrar qual é a ordenada, vamos logo substituir o "x' por "1" na equação acima. Assim, fazendo isso, teremos:

y = 1² + 1
y = 1 + 1
y = 2 <--- Esta é a ordenada "y" do ponto que tangencia a curva. Ou seja, o ponto que tangenciará a curva da equação y = x² + x será o ponto, que vamos chamar de "P" e que tem as seguintes coordenadas:

P(1; 2) .

ii) Agora vamos encontrar qual é a equação geral da reta que tangenciará essa curva.
Para isso, iremos encontrar qual é a derivada primeira da função y = x² + x. Encontrando a sua derivada, teremos:

y' = 2x + 1  <--- Esta é a derivada primeira da função y = x² + x.

iii) Agora encontraremos qual é o coeficiente angular da reta que tangenciará a curva. Para isso, iremos na derivada primeira acima (y' = 2x + 1) e substituiremos o "x" por "1", que é a abscissa do ponto P(1; 2). Fazendo isso, teremos:

y'(1) = 2*1 + 1
y'(1) = 2 + 1
y'(1) = 3 <--- Este é o coeficiente angular da reta que tangenciará a curva y = x² + x. Assim, chamando o coeficiente angular de "m", veja que a equação de uma reta quando já conhecemos o coeficiente angular (m) e apenas um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), será dada pela seguinte fórmula:

y - y₀ = m*(x - x₀).

Logo, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "3" (m = 3) e que passa no ponto P(1; 2) terá a sua equação encontrada assim:

y - 2 = 3*(x - 1) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos;
y - 2 = 3x - 3 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 3x - 3 - y + 2 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 3x - y - 1 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos;
3x - y - 1 = 0 <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, esta é a equação geral da reta que tangencia a curva da função y = x² + x, no ponto de abscissa igual a "1".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.