Question

como resolver a inequação (x²-3x)(-x+2)>=0

Answer 1

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Resolver a inequação-produto:

$\mathsf{(x^2-3x)(-x+2)\ge 0}\\\\ \mathsf{\big[x(x-3)\big]\cdot\big[(-1)(x-2)\big]\ge 0}\\\\ \mathsf{-x(x-3)(x-2)\ge 0}$


Multiplicando os dois lados por – 1, que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

(o sinal ≥ torna-se ≤)

$\mathsf{x(x-3)(x-2)\le 0\qquad\quad\mathsf{(i)}}$


Encontrando as raízes do lado esquerdo:

•   $\mathsf{x=0\qquad\quad\checkmark}$


•   $\mathsf{x-3=0}$

$\mathsf{x=3\qquad\quad\checkmark}$


•   $\mathsf{x-2=0}$

$\mathsf{x=2\qquad\quad\checkmark}$


As raízes são  $\mathsf{x_1=0,\,x_2=2,\,x_3=3.}$


Vamos montar o quadro de sinais:

                 $\begin{array}{rc} \mathsf{x}&\quad\mathsf{\overset{~~~~----}{\textsf{--------------\!\!}}\underset{0}{\bullet}\overset{+++++}{\textsf{\!\!-----------\!\!}}\underset{2}{\bullet}\overset{+++}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\underset{3}{\bullet}\overset{+++}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\textsf{\!\!------}\footnotesize\begin{array}{c}\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{x-3}&\quad\mathsf{\overset{~~~~----}{\textsf{--------------\!\!}}\underset{0}{\bullet}\overset{-----}{\textsf{\!\!-----------\!\!}}\underset{2}{\bullet}\overset{---}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\underset{3}{\bullet}\overset{+++}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\textsf{\!\!------}\footnotesize\begin{array}{c}\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}} \end{array}$

$\begin{array}{rc}\mathsf{x-2}&\quad\mathsf{\overset{~~~~----}{\textsf{--------------\!\!}}\underset{0}{\bullet}\overset{-----}{\textsf{\!\!-----------\!\!}}\underset{2}{\bullet}\overset{+++}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\underset{3}{\bullet}\overset{+++}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\textsf{\!\!------}\footnotesize\begin{array}{c}\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}}\\\\\\ \mathsf{x(x-3)(x-2)}&\quad\mathsf{\overset{~~~~----}{\textsf{--------------\!\!}}\underset{0}{\bullet}\overset{+++++}{\textsf{\!\!-----------\!\!}}\underset{2}{\bullet}\overset{---}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\underset{3}{\bullet}\overset{+++}{\textsf{\!\!--------\!\!}}\textsf{\!\!------}\footnotesize\begin{array}{c}\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}} \end{array}$


Como queremos que o produto do lado esquerdo de $\mathsf{(i)}$ seja menor ou igual que zero, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x\le 0~~ou~~2\le x\le 3.}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~x\le 0~~ou~~2\le x\le 3\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,0\right]\,\cup\,\left[2,\,3\right].}$


Bons estudos! :-)


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