Question

E calcular a tangente de 15°

Answer 1

Resposta: $\mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}.$

Explicação passo a passo:

Podemos escrever

$\mathrm{tg}(15^\circ)=\mathrm{tg}(60^\circ-45^\circ)$

e aplicar a fórmula para o cálculo da tangente da diferença entre dois arcos:

$\mathrm{tg}(\alpha-\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)-\mathrm{tg}(\beta)}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)}$

com $\alpha=60^\circ$ e $\beta=45^\circ,$ cujos valores das tangentes são conhecidos (são arcos notáveis). Assim, a expressão fica

$=\dfrac{\mathrm{tg}(60^\circ)-\mathrm{tg}(45^\circ)}{1+\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot \mathrm{tg}(45^\circ)}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\cdot 1}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por $(\sqrt{3}-1):$

$=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}$

Expanda o quadrado da diferença no numerador, e o produto da soma pela diferença no denominador (ver produtos notáveis), e obtemos

$=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\cdot (\sqrt{3})\cdot (1)+(1)^2}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}\\\\\\ =\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}\\\\\\ =\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}$

Coloque 2 como fator comum em evidência no numerador e simplifique a fração:

$=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2 \cdot (2-\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\! 2}\\\\\\ \therefore\quad \mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Bons estudos! :-)