Question

determine a medida do diâmetro

Answer 1

Nessa questão você vai usar mais uma vez a lei dos senos! Só que dessa vez, com um detalhe que muitas vezes passa despercebido... Dá uma olhada:

A Lei dos Senos é:

$\frac{a}{SenA} = \frac{b}{SenB} = \frac{c}{SenC} = 2R$

Sendo:
A o ângulo oposto ao lado a;
B o ângulo oposto ao lado b; 
C o ângulo oposto ao lado c;
R igual ao raio do círculo circunscrito ao triângulo aplicado.

Então, basta resolver a igualdade:
$\frac{24}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2R$

$\frac{24}{1} . \frac{2}{ \sqrt{3} } = 2R$

$\frac{48}{ \sqrt{3} } = 2R$

$2R \sqrt{3} = 48$

$R \sqrt{3} = 24$

$R = \frac{24}{ \sqrt{3} }$

Racionalizando:

$R = \frac{24}{ \sqrt{3} } . \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{24 \sqrt{3} }{3} = 8 \sqrt{3}$

$R = 8 \sqrt{3}$

Agora atente que o enunciado pede o DIÂMETRO da circunferência.
Diâmetro = 2R

Então: $D = 2 . (8 \sqrt{3}) = 16 \sqrt{3}$

$Diametro = 16 \sqrt{3}$

Espero ter ajudado! 
Qualquer dúvida é só falar...