Question

Seja k um número real,e Z1=(k-i).(3-2i) um número complexo.Calcule e responda:qual deve ser o valor de k,para que Z1 seja um número imaginário puro? Explicações por favor....

Answer 1

É dado o número complexo

     $\mathsf{z_1=(k-i)\cdot (3-2i)\qquad\quad com~~k\in\mathbb{R}}$


Efetue a multiplicação pela propriedade distributiva. Lembre-se de que i² = − 1:

     $\mathsf{z_1=k\cdot (3-2i)-i\cdot (3-2i)}\\\\ \mathsf{z_1=3k-2ki-3i+2i^2}\\\\ \mathsf{z_1=3k-(2k+3)i+2\cdot (-1)}\\\\ \mathsf{z_1=3k-(2k+3)i-2}\\\\ \mathsf{z_1=(3k-2)-(2k+3)i}$


Da última igualdade acima, podemos obter as partes real e imaginária do número z₁:

     $\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{Re(z_1)=3k-2}\\ \mathsf{Im(z_1)=-(2k+3)} \end{array} \right.$


Para que z₁ seja um número imaginário puro, devemos ter

     $\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{Re(z_1)=0}\\ \mathsf{Im(z_1)\ne 0} \end{array} \right.\\\\\\ \left\{ \begin{array}{r} \mathsf{3k-2=0}\\ \mathsf{-(2k+3)\ne 0} \end{array} \right.$


Resolvendo a primeira equação, encontramos

     $\mathsf{3k-2=0}\\\\ \mathsf{3k=2}$

     $\mathsf{k=\dfrac{2}{3}}$        ✔


Este valor de k já satisfaz a condição Im(z₁) ≠ 0. Logo, o valor procurado é

     $\mathsf{k=\dfrac{2}{3}\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)