Question

Descubra o valor de x:
$(\sqrt{1-x}- \sqrt{4+x})^{2} = {\sqrt{2x+7}^{2}$

Answer 1

$\sqrt[m]{a^{n}}=a^{\frac{n}{m}}$

Dessa propriedade, chegamos à seguinte conclusão:

$\boxed{\boxed{\sqrt[]{a^{2}}=\sqrt[2]{a^{2}}=a}}$

Outras propriedades que utilizarei:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$

(Produto notável) Quadrado da diferença de dois termos:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
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$(\sqrt{1-x}-\sqrt{4+x})^{2}=\sqrt{2x+7}^{2}\\(\sqrt{1-x})^{2}-2\sqrt{1-x}\sqrt{4+x}+(\sqrt{4+x})^{2}=2x+7\\1-x-2\sqrt{(1-x)(4+x)}+4+x=2x+7\\1-x+4+x-2\sqrt{4+x-4x-x^{2}}=2x+7\\5-2\sqrt{-x^{2}-3x+4}=2x+7\\-2\sqrt{-x^{2}-3x+4}=2x+2\\-\sqrt{-x^{2}-3x+4}=x+1$

Elevando os 2 lados da equação ao quadrado:

$(-\sqrt{-x^{2}-3x+4})^{2}=(x+1)^{2}\\-x^{2}-3x+4=x^{2}+2x+1\\-x^{2}-x^{2}-3x-2x+4-1=0\\-2x^{2}-5x+3=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-5)^{2}-4\cdot(-2)\cdot3\\\Delta=25+24\\\Delta=49\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot(-2)}=\dfrac{5\pm7}{-4}$

Achando as raízes:

$x'=\dfrac{5+7}{-4}=\dfrac{12}{-4}=-3\\\\\\x'=\dfrac{5-7}{-4}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$
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Como se trata de uma equação irracional, temos que testar as raízes pra ver se ambas satisfazem a igualdade

Testando x = -3:

$(\sqrt{1-(-3)}-\sqrt{4+(-3)})^{2}=\sqrt{2(-3)+7}^{2}\\(\sqrt{1+3}-\sqrt{4-3})^{2}=\sqrt{-6+7}^{2}\\(\sqrt{4}-\sqrt{1})^{2}=\sqrt{1}^{2}\\(2-1)^{2}=1\\1^{2}=1\\1=1$

Testando x = 1/2:

$(\sqrt{1-\frac{1}{2}}-\sqrt{4+\frac{1}{2}})^{2}=\sqrt{2(\frac{1}{2})+7}^{2}\\\\(\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{9}{2}})^{2}=1+7\\\\(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}})^{2}=8\\\\(\frac{1-3}{\sqrt{2}})^{2}=8\\\\\frac{(-2)^{2}}{\sqrt{2}^{2}}=8\\\\\frac{4}{2}=8\\\\2=8$

Como pode ver, x = 1/2 não serve, logo:

$\boxed{\boxed{S=\{-3\}}}$