Question

Usando as razões trigonométricas, determine as medidas x e y indicadas na figura. A seguir, determine a área do losango ABCD. (As medidas estão em cm )
Sen 30○= 1/2 Cos 30○= (raiz de 3/2)

Answer 1

aquele primeiro triangulo retangulo

a hipotenusa mede 40
um cateto mede x
o outro cateto mede y

sabendo que
$\boxed{sen (\theta) = \frac{Cateto.Oposto}{Hipotenusa} }\\\\\\ \boxed{cos(\theta)= \frac{Cateto.Adjascente}{hipotenusa} }$

o cateto oposto ao angulo de 30º mede  y
então
$sen(30) = \frac{y}{40} \\\\ \frac{1}{2}= \frac{y}{40} \\\\ \frac{1}{2}*40 = y\\\\20 = y$

o cateto adjascente ao angulo de 30° mede x
$cos(30) = \frac{x}{40} \\\\ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{x}{40} \\\\ \frac{ \sqrt{3} }{2}*40 = x\\\\ 20 \sqrt{3}=x$

o losangulo é formado por 4 triangulo retangulos
então é só calcular a area de um triangulo e multiplicar por 4

$area = \frac{(BASE)*(ALTURA)}{2}$

BASE = X = 20√3
ALTURA = Y = 20

$area = \frac{20*20 \sqrt{3x} }{2} \\\\ area = 200 \sqrt{3}$

essa é a area do triangulo
multiplicando por 4 vc tem a area do losangulo

$AREA=4*200* \sqrt{3} =800 \sqrt{3}$

800√3 cm²

Answer 2

Os valores de x e y são, respectivamente, 20√3 cm e 20 cm, e a área do losango é 800√3 cm².

Sendo O o ponto de encontro entre as diagonais do losango, temos que o triângulo AOB é retângulo, com catetos medindo x e y e hipotenusa medindo 40 cm. Com essa informações, podemos relacionar os valores de x e y com o ângulo de 30° e a hipotenusa pelas funções cosseno e seno:

sen(30°) = y/40

cos(30°) = x/40

Logo, teremos:

x = 40.√3/2 = 20√3 cm

y = 40.1/2 = 20 cm

A área do losango é dada pela metade do produto entre suas diagonais, temos que as diagonais são o dobro dos segmentos x e y, logo:

D = 2x = 40√3 cm

d = 2y = 40 cm

A = D.d/2

A = 40√3.40/2

A = 800√3 cm²

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