Question

como descobrir o algarismo representado pelas letras a e b no num 8a51b de modo a ser divisível por 2, 3, 5, 9 e 10

Answer 1

Vamos lá.

Veja, João, que a resolução é simples. Envolve apenas conhecimento sobre divisibilidade.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para descobrir os algarismos representados pelas letras "A" e "B" no seguinte número "N", de modo que esse número seja divisível por "2", por "3", por "5", por "9" e por "10", simultaneamente:

N = 8A51B

ii) Agora vamos por parte:

ii.1) Um número será divisível por "2" se ele for par: ou seja, se esse número terminar em "0", "2", "4", "6" ou "8".

ii.2) Um número será divisível por "3" se a soma dos seus algarismos resultar num número que seja divisível por "3".

ii.3) Um número será divisível por "5" se terminar em "0" ou em "5".

ii.4) Um número será divisível por "9" se a soma dos seus algarismos resultar num número que seja divisível por "9".

ii.5) E finalmente um número será divisível por "10" se terminar em "0".

iii) Bem como já vimos aí em cima, então o número N = 8A51B deverá terminar em "0", ou seja, teremos que fazer o algarismo B = 0, pois terminando em "0" será divisível por "10" (pois termina em "0"); será divisível por "5" (pois termina em "0" e essa é uma das características de um número que seja divisível por "5"); e será divisível por "2" (pois termina em "0" e "0" é par). Então, em princípio, deveremos ter o seguinte número:

N = 8A510

Note que falta apenas sabermos qual será o valor do algarismo "A", pois já vimos que o algarismo "B" teria que ser, necessariamente, igual a "0". E o número acima já está escrito considerando "B" igual a "0". E note que o número acima considerado já está garantido que ele será divisível por "2", por "5" e por "10". Falta apenas impor que ele seja divisível por "9", pois sendo divisível por "9" já o será, automaticamente, divisível por "3".
Então vamos somar os algarismos e vamos ver qual será o valor do algarismo "A". Assim, teremos:

8 + A + 5 + 1 + 0 = 14 + A

Agora note: o menor algarismo que deveremos somar à expressão "14 + A" para que essa soma dê um número divisível por "9" será fazer A = 4, pois "14+4 = 18" e "18" é um número divisível por "9" e sendo divisível por "9" já será automaticamente divisível por "3". Logo o algarismo A deverá ser, necessariamente, igual a "4".

iv) Assim, o nosso número N deverá ser este:

N = 84.510 <--- Este deverá ser o valor do número N.

E, como vimos, para que o número N seja igual a "84.510",  foi necessário fazer os valores dos algarismos A e B iguais a:

A = 4; e B = 0  <--- Esta é a resposta. Ou seja, o número N = 8A51B deverá ter os algarismos A e B iguais, respectivamente, a "4" e a "0", para que o número encontrado seja divisível por "2", por "3", por "5", por "9" e por "10", simultaneamente.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.