Question

O menor valor inteiro de k para que a equação algébrica 2x(kx – 4) – x2 + 6 = 0 em x não tenha raízes reais é:

Answer 1

Para que uma equação quadrática não tenha raízes reais, o determinante precisa ser menor que 0
Δ=b²-4ac
Δ<0

b²-4ac<0
b²<4ac
Agora vamos substituir os valores na equação e encontramos o menor valor inteiro de k
[2(kx-4)]²<4.-1.6
[2kx-8]²<-24
4kx²+32kx+64<-24
4kx²+32kx+88<0 (:4)
kx²+8kx+22<0
Resolvendo esta parte por fórmula de bhaskara

x=-8k+-√64k²-4.k.22/2k
x=-8k+-√64k²-88k/2k

Nós temos que a raiz precisa ser igual a zero para que o k desta equaçao assuma valor real e a raiz também
64k²-88k=0
8k(8k-11)=0
8k=0
ou
8k-11=0
8k=11
k=11/8
Mas se substituirmos k por 0 na equação, tudo vai zerar e chegamos a uma indetreminaçao matematica. Portanto nosso k desta equação vale 11/8
x=-8.11/8+-√64.(11/8)²-88.11/8/2.11/8
x=-11+-√0/11/4
x=-11+-0/11/4
como aqui delta é igual a zero, temos somente uma raiz
x=11/11/4
x=4
Se x é 4, vamos substituir na outra equação e descobrimos k
kx²+8kx+22<0
x=4
k.4²+8.k.4+22<0
16k+32k+22<0
48k+22<0 (:2)
24k+11<0
24k<-11
k<-11/24
Mas o enunciado pediu o menor valor inteiro de k para que a equação não tenha valores reais e o intervalo já estão definido, então l menor valor inteiro que k pode assumir vale -11/11=-1

2x(-x-4)-x²+6=0
-2x²-8x-x²+6=0
-3x²-8x+6=0
x=8+-√64+72/-6
x=8+-√136/-6
136 não possui raiz exata, logo a equação não possui valor real.
Solução: k=-1