Question

– Uma bola de tênis tem um diâmetro de 3,80 cm de diâmetro e uma densidade média de 84 kg/m3 . Qual é a força necessária para mantê-la completamente submersa dentro da água

Answer 1

diâmetro d = 3,80 cm = 3,80÷10² m 
raio r = 1,9÷10² m 
densidade da bola ρ = 0,084 g/cm³ = 0,084·10³ Kg/m³ 
densidade da água ρa = 1 g/cm³ = 10³ Kg/m³ 
massa do fluído deslocado mf = ρa·v → v = volume do fluído deslocado que é igual ao volume da bola 
massa da bola mb = ρ·v 
volume da bola v = π·r³ 
Sabemos que a bola está em repouso ∴ a = 0 → aceleração 
Princípio Fundamental da Dinâmica: ∑F = ma ∴ ∑F = 0 
∑F = E - P - F → F = E - P 
F = (ρ - ρa)·v·g 
F = (ρ - ρa)·vg = (10³ - 0,084·10³)·3,14·(1,9³)÷(10²·10²·10²)·10 → 
F = 197,28 N

Answer 2

Para que a bola de tênis fique completamente submersa, deve-se realizar uma força de 0,263 N sobre ela.

Dados:

$D=3,80\:cm=3,80\times 10^{-2}\:m$

$r=1,90\:cm=1,90\times 10^{-2}\:m$

$\rho_{bola}=84\:kg/m^3$

$\rho_{agua}=1000\:kg/m^3$

$g=10\:m/s^2$

Determinar: $F=?$

Para que a bola de tênis seja completamente submersa, a força aplicada sobre ela juntamente com a sua força peso devem ser, no mínimo, iguais ao empuxo que a água exerce sobre a bola.

Aplicando a 2ª Lei de Newton, baseado no diagrama de corpo livre da figura anexada na solução, temos para a bola de tênis que:

$F_{R,y}=m\cdot a_y$

$F+P-E=m\cdot a_y$

na qual F é a força externa aplicada, em N; P é a força peso da bola de tênis, em N; E é o empuxo, em N, sofrido pela bola de tênis devido à ação da água; m é a massa da bola de tênis, em kg; e $\underline{a_y}$ é aceleração, em m/s², sofrida pela bola de tênis na direção y.

Considerando que o sistema se encontra em equilíbrio dinâmico, então $a_y=0$. Assim:

$F+P-E=0$

$F=E-P$

$F=\rho_{agua}\cdot g\cdot V_{deslocado}-m_{bola}\cdot g$  (1)

Pela definição de massa específica (ou densidade), temos:

$\rho=\frac{m}{V}$

$m=\rho\cdot V$ (2)

Substituindo (2) em (1):

$F=\rho_{agua}\cdot g\cdot V_{deslocado}-\rho_{bola}\cdot V_{bola}\cdot g$

na qual $\underline{\rho_{agua}}$ é a massa específica da água, em kg/m³; $\underline{\rho_{bola}}$ é a massa específica da bola de tênis, em kg/m³; g é a aceleração da gravidade, em m/s²; $\underline{V_{deslocado}}$ é o volume, em m³, de água movido devido à presença da bola de tênis no fluido; e $V_{bola}$ é o volume, em m³, da bola de tênis.

Considerando que o volume de água deslocado no processo é igual ao volume da bola de tênis, então:

$F=\rho_{agua}\cdot g\cdot V_{bola}-\rho_{bola}\cdot V_{bola}\cdot g$

$F=\left(\rho_{agua}-\rho_{bola}\right)\cdot g\cdot V_{bola}$  (3)

O volume de uma esfera é dado por:

$V=\frac{4\cdot \pi \cdot r^3}{3}$  (4)

em que r é o raio da esfera, em m.

Substituindo (4) em (3), temos que a força agindo sobre a bola de tênis é de:

$F=\left(\rho_{agua}-\rho_{bola}\right)\cdot g\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot r^3}{3}$

$F=\left(1000-84\right)\cdot 10\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot \left(1,90\times 10^{-2}\right)^3}{3}$

$F=916\cdot 40\cdot \frac{ \pi \cdot 6,859\times 10^{-6}}{3}$

$\bold{F=0,263\: N}$

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