Question

Na década de 1940, o estatístico P. H. Leslie propôs um modelo usando matrizes para o estudo da evolução de uma população ao longo do tempo. Se, por exemplo, x(t) e y(t) representam a distribuição de indivíduos no ano t em duas faixas etárias, no modelo de Leslie, a distribuição de indivíduos x(t + 1) e y(t + 1) no ano t + 1, nessas mesmas duas faixas etárias, é dada por As constantes a e b representam as fertilidades em cada faixa etária e a constante p representa a taxa de sobrevivência da primeira faixa etária. Se a = 0; b = 10; p = 0,1; e sabendo que x(0) = 2 000 e y(0) = 200; então, a distribuição de indivíduos no ano t = 10 é dada por: (A) x(10) = 20 000 e y(10) = 2 000 (B) x(10) = 2 000 e y(10) = 200 (C) x(10) = 2 00010 e y(10) = 20010 (D) x(10) = 2 000 ■ 1010 e y(10) = 200 ■ 10-10 (E) x(10) = 2 000 ■ 10-10 e y(10) = 200 ■ 1010

Answer 1

Temos que o modelo de Leslie é dado por:
$\left[\begin{array}{c}x(t+1)\\y(t+1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a&b\\p&0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right]$

Substituindo os valores de a, b e p e aplicando o produto de matrizes, temos que:
$\left[\begin{array}{c}x(t+1)\\y(t+1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0&10\\0,1&0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{c}x(t+1)\\y(t+1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}10y(t)\\0,1x(t)\end{array}\right]$

Igualando as matrizes, obtemos as equações:
x(t+1) = 10y(t)
y(t+1) = 0,1x(t)

Observe que a partir destas equações, conclui-se que não importa o valor de t, o resultado de t+1 será o mesmo. Basta então encontrar os valores de y(0) e x(0) que foram dados no enunciado.

Para verificar:
x(0+1) = 10y(0)
x(1) = 10*200
x(1) = 2000

y(0+1) = 0,1x(0)
y(1) = 0,1*2000
y(1) = 200

Resposta: letra B