Question

Quantos algarismos tem o produto P = 2 elevado a 24 x 3 elevado a 18 vezes 5 elevado a 5 x 12 elevado a menos 12 vezes 16 elevado a 16 vezes 25 elevado a 25

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lilianot, que a resolução poderá sair por logaritmo. E veja como é mais ou menos fácil.

Antes de iniciar, note que log₁₀ (1.000) = 3. O que você notou? Deve ter notado que "1.000" tem quatro algarismos e a característica do logaritmo de 1.000 é igual a "3". Então o número de algarismo de um logaritmo que tenha característica igual a "3" tem quatro algarismos.
Note mais este exemplo: log₁₀ (2) = 0,30103 (aproximadamente). Note que a característica (que é a parte que vem antes da vírgula) é "0" e o número "2" tem um algarismo. Então o número de algarismo de um logaritmo que tenha característica igual a "0" tem um algarismo.
E assim sucessivamente.

i) Bem, visto isso, então vamos à sua questão, que é: encontrar o número de algarismo do número P, que é igual a:

P = 2²⁴ * 3¹⁸ * 5⁵ * 12⁻¹² * 16¹⁶ * 25²⁵ ---- vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, com o que ficaremos:

log₁₀ (P) = log₁₀ (2²⁴ * 3¹⁸ * 5⁵ * 12⁻¹² * 16¹⁶ * 25²⁵)

Veja que:
12 = 2² * 3
16 = 2⁴
25 = 5²
Assim, substituindo-se, teremos:

log₁₀ (P) = log₁₀ [2²⁴ * 3¹⁸ * 5⁵ * (2²*3)⁻¹² * (2⁴)¹⁶ * (5²)²⁵] ---- desenvolvendo, teremos:

log₁₀ (P) = log₁₀ [2²⁴ * 3¹⁸ * 5⁵ * 2²*⁽⁻¹²⁾ * 3⁻¹² * 2⁴*¹⁶ * 5²*²⁵] --- continuando:
log₁₀ (P) = log₁₀ [2²⁴ * 3¹⁸ * 5⁵ * 2⁻²⁴ * 3⁻¹² * 2⁶⁴ * 5⁵⁰] --- como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, então vamos colocar, juntos, os iguais, com o que ficaremos assim:

log₁₀ (P) = log₁₀ [2²⁴ * 2⁻²⁴ * 2⁶⁴ * 3¹⁸ * 3⁻¹² * 5⁵ * 5⁵⁰] ----note que temos multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

log₁₀ (P) = log₁₀ [2²⁴⁺⁽⁻²⁴⁾⁺⁶⁴ * 3¹⁸⁺⁽⁻¹²⁾ * 5⁵⁺⁵⁰] ---- desenvolvendo, temos:
log₁₀ (P) = log₁₀ [2²⁴⁻²⁴⁺⁶⁴ * 3¹⁸⁻¹² * 5⁵⁺⁵⁰] --- continuando, ficamos:
log₁₀ (P) = log₁₀ [2⁶⁴ * 3⁶ * 5⁵⁵] --- agora vamos transformar esse produto em soma, com o que ficaremos:

log₁₀ (P) = log₁₀ (2⁶⁴) + log₁₀ (3⁶) + log₁₀ (5⁵⁵) ---- passando os expoentes multiplicando os respectivos logs, ficaremos com:

log₁₀ (P) = 64log₁₀ (2) + 6log₁₀ (3) + 55log₁₀ (5)

Agora veja que:

log₁₀ (2) = 0,30103 (aproximadamente)
log₁₀ (3) = 0,47712 (aproximadamente)
log₁₀ (5) = 0,69897 (aproximadamente)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

log₁₀ (P) = 64*0,30103 + 6*0,47712 + 55*0,69897 ---- efetuando estes produtos teremos:

log₁₀ (P) = 19,26592 + 2,86272 + 38,44335 ---- efetuando esta soma, temos:
log₁₀ (P) = 60,57199

Agora note: a característica do log₁₀ (P) é igual a "60" (que é a parte que vem antes da vírgula). Isso significa que o número "P" tem:

61 algarismos <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

Ok?
Adjemir.