Question

me ajudem nessa questão:∫▒(〖9x〗^3-3x+1)/(x^3-x^2 )dx

Answer 1

$\boxed{\boxed{\int\limits { \frac{9x^3-3x+1}{x^3-x^2} } \, dx }}$

a integral de uma soma é a soma das integrais
$\boxed{\boxed{\int\limits { \frac{9x^3}{x^3-x^2} + \int{ \frac{-3x}{x^3-x^2} } \, dx + \int {\frac{1}{x^3-x^2} }dx} }}$

resolvendo a primeira integral 
$\int \frac{9x^3}{x^3-x^2}.dx =\int \frac{9x^3}{(x-1)*x^2}.dx =\int \frac{9x}{(x-1)}.dx$

$u = x-1\\\\du =1.dx\\\\ x= u+1$

temos
$\int\limits { \frac{9*(u+1)}{u} } du =9*( \int { \frac{u}{u} } du + \int { \frac{1}{u} } du) =9*( \int { 1 } du + \int { \frac{1}{u} } du)= 9(u*ln(u))$

substituindo 
$9(u*ln(u)) = \boxed{\boxed{9*((x-1)*ln(x-1) )}}$
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resolvendo a segunda integral
$]\int{ \frac{-3x}{x^3-x^2} } = \int{ \frac{-3x}{(x^2-x)*x} }= \int\limits { \frac{-3}{x^2-x} } \, dx = -3 \int\limit { \frac{1}{x^2-x} } \, dx =-3 \int\limits { \frac{1}{(x-1)*x} } \, dx$


decompondo em fraçoes parciais

$\frac{1}{(x-1)*x} = \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{x} \\\\\ \frac{1}{(x-1)*x} = \frac{Ax+B(x-1)}{(x-1)x} \\\\ 1=Ax+B(x-1)$

quando x= 0
$1=B(0-1)\\\\-1 = B$

quando x =1

$1 = A*1\\\\1=A$

ficamos com a integral
$-3 \int\limits { \frac{1}{(x-1)}- \frac{1}{x} } \, dx = \boxed{\boxed{-3(ln(x-1)-ln(x))}}$

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resolvendo a ultima integral
$\int {\frac{1}{x^3-x^2} }dx} = \int \frac{1}{(x-1)x^2} .dx$

decompondo em frações parciais
$\frac{1}{(x-1)*x^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2}+ \frac{C}{(x-1)} \\\\ \frac{1}{(x-1)*x^2} = \frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}{(x-1)x^2} \\\\ 1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2$

quando x=0
$1=B(0-1)\\\\-1=B$

quando x =1
$1=C*1^2\\\\1=C$

encontrando o A
quando x = -1

$1 = A(-1)(-1-1)+ B(-1-1)+C(-1)^2\\\\1=2A-2B+C\\\\1 =2A+2+1\\\\-2=2A\\\\-1=A$

a integral fica
$\int\limits{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x-1)} } \, dx = -ln(x)+ \frac{1}{x}+ln(x-1)$

resposta
$9[(x-1)*ln(x-1) ]-3[ln(x-1)-ln(x)] -ln(x)+ \frac{1}{x}+ln(x-1)$