• Matéria: Matemática
  • Autor: Djombo1
  • Perguntado 8 anos atrás

lim(x_0) (1- √1+x )/x

Respostas

respondido por: trindadde
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Olá!

     Faça a mudança de variável   u = 1+x  . Daí, temos que

\left\{\begin{array}{lcr}u=1+x& \Rightarrow &x = u-1 \\ x\to 0 & \Rightarrow & u\to 1 \end{array}\right.\Rightarrow 
\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{1+x}}{x} = \\ \\ \\ = 
\displaystyle \lim_{u\to 1}\dfrac{1-\sqrt{u}}{u-1}

    Perceba que este limite vai para a indeterminação  \dfrac{0}{0}  . Mas antes da mudança de variável já ocorria isso. Então por que mudar de variável? Porque o limite que chegamos é mais agradável para aplicar a regra de L'Hospital. Assim, temos:

\displaystyle \lim_{u\to 1}\dfrac{1-\sqrt{u}}{u-1}\;\;\overset{\text{\it{L'H}}}{=}\;\;
\lim_{u\to 1}\dfrac{1-\frac{1}{2\sqrt{u}}}{1} = \dfrac{1-\frac{1}{2\cdot 1}}{1} = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.



Bons estudos!
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