Question

Encontre a derivada implícita da função abaixo:
a) y . x² + x - 3x² = 1

Answer 1

$yx^2+x-3x^2=1$

multiplicando tudo por d/dx

$\frac{d}{dx}[yx^2+x-3x^2]= \frac{d}{dx}(1 )\\\\ \boxed{\boxed{\frac{d}{dx}(yx^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(3x^2)= \frac{d}{dx}(1) }}$

resolvendo as derivadas
${\frac{d}{dx}(yx^2)$

é uma derivada de duas variaveis então vamos utilizar a regra do produto
$\boxed{(U*V)' = U'*V+U*V' }\to\boxed{\boxed{ \frac{d}{dx}(U*V)= \frac{dU}{dx}*V+U* \frac{dV}{dx} }}$

temos
$U = y\\\\ \frac{dU}{dx}= 1 \to \frac{dy}{dx}=1 \\\\\\V =x^2\\\\ \frac{dV}{dx}=2x\to \frac{dx}{dx}=2x$

substituindo
$\boxed{\boxed{\frac{dy}{dx}*x^2+ y* \frac{ dx}{ dx}*2x}}$

fica dy/dx porque vc derivou a variavel y e colocou em relação a x

a segunda derivada fica
é a derivada de x em relaçao a x
$\frac{d}{dx}(x) = \frac{dx}{dx}*1 = \frac{dx}{dx}$

a terceira derivada 
é a derivada de x em relaçao a x
$\frac{d}{dx}(3x^2)= \frac{dx}{dx}*6x$

e a ultima derivada 
que é uma constante
$\frac{d}{dx}(1) = 0$

temos
$\frac{dy}{dx}*x^2+ y* \frac{ dx}{ dx}*2x} + \frac{dx}{dx}- \frac{dx}{dx}*6x = 0$

mas dx/dx = 1

$\frac{dy}{dx}*x^2+ y*2x} + 1-6x = 0 \\\\ \frac{dy}{dx}*x^2 = -2xy-1+6x \\\\ \boxed{\boxed{\frac{dy}{dx}= \frac{-2xy-1+6x}{x^2} }}$