Question

Encontre a fração geratriz dessas dízimas periódicas:

a) 0, —
7


b) 0,45454545...



c) 0,222...



d) 0, —
81



e) 0,1800180180...

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Biamatheus, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

Note que há um método bem prático pra encontrar frações geratrizes de quaisquer que sejam as dízimas periódicas. Esse método se resume no selguinte: você iguala a dízima periódica a um certo "x". Depois multiplica esse "x" por uma ou mais potências de "10". Após isso, com algumas operacionalizações, procura-se fazer desaparecer o período (o período em dízimas periódicas é aquela parte que se repete indefinidamente. Daí o nome: dízima periódica).
Então vamos para cada uma das suas questões propostas:

a) 0,77777.......  .  Aplicando o método acima, vamos igualar a "x", ficando:

x = 0,7777.... ---- agora multiplicarmos "x' por "10", ficando:
10*x = 10*0,7777.....
10x = 7,7777....

Agora subtrairemos "x" de "10x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período, que é o que queremos. Assim:

10x = 7,7777....
- x = - 0,7777......
------------------------------ subtraindo membro a membro, temos;
9x = 7,000..... ou apenas (veja que o período desapareceu):
9x = 7
x = 7/9 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima "0,7777....."

b) 0,45454545........ --- aplicando o método, vamos igualar a "x", ficando:

x = 0,45454545...... --- vamos multiplicar "x" por "100", ficando:
100*x = 100*0,45454545...
100x = 45,45454545....

Agora subtrairemos "x" de "100x", ficando:

100x = 45,45454545...
.. - x = - 0,45454545.....
---------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
99x = 45,000.... ou apenas (veja que o período desapareceu):
99x = 45
x = 45/99 ----- simplificando-se numerador e denominador por "9", temos:
x = 5/11 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica "0,454545.....".

c) 0,2222..... ----- aplicando o método vamos igualar a "x", ficando:

x = 0,22222... --- vamos multiplicar "x" por "10", ficando:
10*x = 10*0,22222...
10x = 2,22222....

Agora subtrairemos "x" de "10x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período (que é o que queremos). Logo:

10x = 2,22222.....
- x = - 0,2222.....
----------------------- subtraindo membro a membro, teremos;
9x = 2,000.... ou apenas (veja que o período desapareceu):
9x = 2
x = 2/9 <---Esta é a resposta para a questão do item "c". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica "0,22222.....".

d) 0,81818181...... ---- aplicando o método, vamos igualar a "x", ficando:

x = 0,81818181...... ---- vamos multiplicar "x' por "100", ficando:

100*x = 100*0,81818181...
100x = 81,81818181......

Agora vamos subtrair "x" de "100x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período (que é o que queremos). Assim:

100x = 81,81818181...
.. - x = - 0,81818181......
------------------------------ subtraindo membro a membro, temos;
99x = 81,00000.... ou apenas (veja que o período desapareceu):
99x = 81
x = 81/99 ----- simplificando-se numerador e denominador por "9", iremos ficar com:

x = 9/11 <--- Esta é a resposta para a questão do item "d". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica "0,81818181.....".

e) A dízima periódica do item "e" você a coloca em uma outra mensagem, após esclarecer (com bastante cuidado) a sua escrita correta, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.