Question

) Usando o Princípio de Inclusão e Exclusão, determine o número de permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) nas quais nem o 2 ocupa o 2o lugar nem o 6 ocupa o 6o lugar.

Answer 1

Olá.

O Princípio de Inclusão e Exclusão diz que: n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B).

Vamos considerar que:

O conjunto A será o conjunto dos números com o 2 na 2ª posição, o conjunto B será o conjunto dos números com o 6 na 6ª posição e A∩B será o conjunto com os números que contém o 2 na 2ª posição e o 6 na 6ª posição.

Daí, para descobrirmos o n(A) devemos fixar o 2 na segunda posição: _2_ _ _ _ _ _ . Logo teremos 7!

Da mesma forma, o n(B) devemos fixar o 6 na 6ª posição: _ _ _ _ _ 6 _ _. Então, também teremos 7!

E n(A∩B), temos que fixar o 2 na 2ª posição e o 6 na 6ª posição: _ 2 _ _ _ 6 _ _ . Então temos 6!

Logo, n(A∪B) = 7! + 7! - 6! = 5040 + 5040 - 720 = 9360

Portanto, o número de permutações será igual ao total de permutações possíveis menos o n(A∪B): 8! - 9360 = 40320 - 9360 = 30960

Answer 2

Bom dia!!

Se temos 8 números, colocaremos 8 riscos
_  _  _  _  _  _  _  _

O número máximo de permutações sem exceção é:
8! = 40320

Quando 2 admite a 2ª posição temos as permutações:
_ 1 _  _  _  _  _  _ 
7×1×6×5×4×3×2×1 = 7! = 5040

Quando o 6 admite a 6ª posição temos as permutações:
_  _  _  _  _ 1  _  _ 
7×6×5×4×3×1×2×1 = 7! = 5040

Porém alguns números se repetem, ou seja, são números iguais entre essas duas permutações, assim devemos eliminar esses repetidos fixando os dois:
_  1  _  _  _ 1  _  _ 
6×1×5×4×3×1×2×1 = 6! = 720

Subtraindo temos:
40320 -2×5040 +720
40320 - 10080  +720= 30960 permutações

Bons estudos!