Question

Quais os valores de x que tornam o conjunto A={(25,x);(x,4)} uma base de R2?

Escolha uma:
a. x ≠ ±10
b. x ≠ 10
c. x ≠ 100
d. x ≠ -100

Answer 1

Olá!
   
    Lembrando que uma base deve ser um conjunto LI, então uma combinação linear nula dos elementos de A só deverá ocorrer se os coeficientes dos vetores forem iguais a zero. 
 
    Assim, se supormos que tal combinação linear nula ocorre sem que todos os coeficientes sejam nulos, teremos nossa resposta.
 
    Sejam  $\alpha_1\;\text{e}\;\alpha_2$  em   $\mathbb{R}$   e considere a combinação linear nula (supondo os coeficientes diferentes de zero)

$\alpha_1(25,x) + \alpha_2(x,4) = (0,0)$  . 

Segue que:

$\left\{\begin{array}{lcr}25\alpha_1+x\alpha_2 &=&0\\ x\alpha_1+4\alpha_2&=&0\end{array}\right.\sim \left\{\begin{array}{lcr}x\alpha_2+25\alpha_1 &=& 0\\ \; & \; & \; \\ -25\frac{(\alpha_1)^2}{\alpha_2}+4\alpha_2 &= & 0 \end{array}\right.\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{lcr}x\alpha_2 + 25\alpha_1 & = & 0\\ 4(\alpha_2)^2-25(\alpha_1)^2 & =& 0 \end{array}\right. .$

Na segunda equação, temos que:

$4(\alpha_2)^2 = 25(\alpha_1)^2\Rightarrow 2|\alpha_2| = 5|\alpha_1|\;\;{\text{(I)}}$.

Ainda, podemos reescrever a equação  $x\alpha_2 + 25\alpha_1 = 0$  como   $x\alpha_2 + 5\cdot (5\alpha_1) = 0$  . 

Substituindo (I) nesta última equação, obtemos:

$x\alpha_2 + 5\cdot(2\alpha_2) = 0\Rightarrow x\alpha_2+10\alpha_2 = 0 \Rightarrow \alpha_2(x+10)=0\Rightarrow \\ \\ \overset{\alpha_2\neq0}{\Longrightarrow} x+10=0\Rightarrow x = -10.$

Lembrando que retiramos o módulo do  $\alpha_2,$   então devemos considerar ambos os valores 10 e -10. 

Portanto, resposta (A).




Bons estudos!