Question

No plano de Argand-Gauss, seja P o afixo do número complexo $z = \sqrt{8} + i$. Um número complexo W de módulo igual a 1, cujo afixo Q pertence ao quarto quadrante, é tal que o ângulo PÔQ é reto. Sendo O a origem desse plano complexo. Julgue os itens a seguir:

I) O ponto P pertence à circunferência de equação ${x}^{2} + {y}^{2} = 9$

II) O número complexo W é tal que ${W}^{2} = \frac{ - 7 - 4 \sqrt{2}i }{9}$

#Cálculos e explicações

(Gabarito: Ambas são verdadeiras)

Answer 1

Olá, Emanueli!

Vamos analisar o número $z$ ; 

Seu módulo equivale a raiz quadrada da soma dos quadrados de sua parte imaginária(Im(z)) com a sua parte real(Re(z)).

$|z| = \sqrt{Im(z)^2+Re(z)^2}\\ \\ |z| = \sqrt{(\sqrt8)^2 + 1^2}\\ \\ |z| = \sqrt{8 + 1}\\ \\ |z| = 3$

No plano complexo, qualquer relação da forma $|z-z_0| = r$ representa a equação de uma circunferência centrada em $(Im(z_0);Re(z_0) )$ e com raio $r$ , isto é, o plano complexo(C¹) é equivalente ao plano cartesiano (R²) [A propósito: Cⁿ ≡ R²ⁿ]

Outro modo de notar isso é: veja que $z$ apresenta módulo 3, e assim, sua distância à origem do plano complexo é de três unidades. Qual o lugar geométrico de todos os pontos que distam 3 unidades da origem? Uma circunferência, ora!

Se sobrepusermos o plano cartesiano sobre o de Argand-Gauss, a circunferência de centro na origem e raio 3 pode ser escrita como:

$x^2+y^2 = 3^2$ , e sobre ela estará localizado o ponto P.


Afirmativa I): Correta

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Estudemos, agora, o complexo W, mas antes, notemos uma coisa:

Seja $v = |v| cis(\theta) = |v|(cos\ \theta + i\cdot sen\ \theta)$

Multiplicamos v pela unidade imaginária, que pode ser representada como: $i = cis(\pi/2)$

$v\cdot i = |v| cis(\theta)\cdot cis(\pi/2) =\\ = |v| cis(\theta + \pi/2)$

Isto é, o ângulo foi rotacionado 90° no sentido positivo. Assim, se multiplicarmos por -i um complexo qualquer, teremos sua rotação em -90°.

Veja que z é do primeiro quadrante, e w é do quarto e está rotacionado -90° de z. Assim, se multiplicarmos o complexo unitário na direção de z por -i, teremos o complexo unitário na direção de w(que é o próprio w !).

O complexo unitário na direção de z é obtido dividindo z pelo seu módulo:

$\dfrac{z}{|z|} = \dfrac{\sqrt8}{3} + \dfrac{1}{3}i\\ \\ \\ w = \dfrac{z}{|z|}(-i) = -\dfrac{\sqrt8}{3}i + -\dfrac13 i^2\\ \\ \\ w = -\dfrac{\sqrt8}{3}i + \dfrac13\\ \\ \\ \boxed{w = \dfrac13 - \dfrac{2\sqrt2}{3}i}$


Encontremos w²:

$w^2 = \left(\dfrac13 - \dfrac{2\sqrt2}{3}i\right)^2\\ \\ w^2 = \dfrac19 - \dfrac{4\sqrt2}{9}i - \dfrac83\\ \\ \\ w^2 = -\dfrac73 - \dfrac{4\sqrt2}{9}i\\ \\ \\ \boxed{w^2 = \dfrac{-7-4\sqrt2i}{9}}$


Afirmativa II): Correta