Question

Sejam a, b e c raízes da equação algébrica 4x³ - 3x²+ 2x + 8 = 0.
Encontre o valor da expressão:

$\frac{1}{a^{2} } + \frac{1}{b^{2} } + \frac{1}{c^{2} }$

Answer 1

Comecemos pela expressão:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}{(abc)^2}=\frac{(ab+ac+bc)^2}{(abc)^2}$

Lembremo-nos das Relações de Girard:

a+b+c=-b/a=3/4
(ab)+(ac)+(bc)=c/a=2/4=1/2

Substituindo na expressão:

$\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{3}{4})^2}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}}=\frac{1}{4}*\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$