Question

(UFMG) Na figura, o segmento CE mede 80 unidades. O comprimento do segmento BC é:
a) 20
b) 10
c) 8
d) 5

Resposta: b)

Answer 1

Olá, tudo bem?

Resposta: Letra b) 10

Há várias maneiras de se fazer o exercício. Algumas mais detalhadas, que possibilitam descobrir todos os lados e ângulos, outras mais simples e direta:
Vamos descobrir o lado AC e CD através das definições de seno e cosseno para triângulos retângulos.
O vértice E mede 30º e está oposto ao lado AC.
O vértice D no triângulo B(D)C mede 30º e está oposto ao lado BC.
O vértice C mede 60º (resultado obtido pro soma de ângulos internos).

$Sen30=\frac{AC}{CE}\\\\Sen30=\frac{AC}{80} \\ \\ \frac{1}{2} = \frac{AC}{80} \\\\ AC = 40 \\\\\\ Cos60 = \frac{CD}{AC}\\\\ \frac{1}{2} = \frac{CD}{40} \\ \\ CD = 20 \\ \\\\ Sen30 = \frac{BC}{CD}\\\\ \frac{1}{2} = \frac{BC}{20}\\\\ BC = 10$

Answer 2

O comprimento do segmento BC é:

b) 10

Explicação:

O triângulo ACE é retângulo em A.

Como CE é a hipotenusa, utilizamos a relação seno para descobrir a medida do cateto oposto a 30°.

sen 30° = cateto oposto

                  hipotenusa

1 = AC

2    80

AC = 80

         2

AC = 40

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Assim, no triângulo ACE, temos:

A + C + E = 180

90 + C + 30 = 180

C + 120 = 180

C = 180 - 120

C = 60°

No triângulo CBD, temos:

C + B + D = 180

60 + 90 + D = 180

150 + D = 180

D = 180 - 150

D = 30°

Portanto, os triângulo CBD e ACE são semelhantes. Logo, a medida de seus lados são proporcionais.

BC = CD

AC    CE

Precisamos da medida de CD.

cos 60° = CD

                AC

1 = CD

2    40

CD = 20

Logo:

BC = CD

AC    CE

BC = 20

40    80

BC = 1

40     4

BC = 40

         4

BC = 10

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