Question

dois polígonos têm gênero 4x e 3x+3.Calcule x, sabendo que a soma dos ângulos internos desses estão na razão 1/2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernando, que a resolução é mais ou  menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que dois polígonos regulares, cujo gênero (ou nomenclatura) é de "4x" e de "3x+3" têm, respectivamente, a razão entre a soma dos seus ângulos internos igual a "1/2".

ii) Antes veja que a soma dos ângulos de internos de qualquer polígono regular é dada por: Si = 180*(n-2), em que "Si" é a soma dos ângulos internos e "n" é o número de lados do polígono.

iii) No caso dos dois polígonos da sua questão temos que os seus números de lados são, respectivamente: "4x" e "4x+3". Então a soma dos ângulos internos de cada um deles será dada assim:

- Para o polígono que tem "4x" lados: 180*(4x-2)     . (I)
- Para o polígono que tem (3x+3) lados: 180*(3x+3-2) = 180*(3x+1)  . (II) .

iv) Agora vamos encontrar a razão entre as expressões (I) e (II) acima e vamos igualá-la a "1/2", pois é isto o que está informando o enunciado da questão. Assim, teremos:

180*(4x-2) / 180*(3x+1) = 1/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*180*(4x-2) = 1*180*(3x+1) ---- desenvolvendo, ficamos:
360*(4x-2) = 180*(3x+1) --- note que, para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "180". Assim, ao fazer isso, ficaremos apenas com:

2*(4x-2) = 1*(3x+1) ---- efetuando os produtos indicados, teremos;
8x - 4 = 3x + 1 --- passando "3x" do 2º para o 1º membro e passando "-4" do 1º para o 2º membro, iremos ter:

8x - 3x = 1 + 4
5x = 5 --- isolando "x", teremos:
x = 5/5
x = 1 <--- Esta é a resposta. Ou seja, "x" deverá ser igual a "1" para que a razão entre a soma dos ângulos internos desses polígonos seja igual a "1/2".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver como isso é verdade mesmo. Note: se x = 1, então:

- o polígono que "4x" lados terá: 4*1 = 4 lados
- o polígono que "3x+3" lados terá: 3*1+3 = 3+3 = 6 lados.

Agora note que as somas dos ângulos de um polígono de 4 lados e de um polígono de 6 lados serão dadas assim:

- Soma dos ângulos de um polígono de 4 lados: 180*(4-2) = 180*2 = 360º
- Soma dos ângulos de um polígono de 6 lados: 180*(6-2) =180*4 = 720º.

Agora vamos à razão entre 360º e 720º e vamos ver que vai dar exatamente igual a "1/2". Veja:

360º/720: = 1/2 (após simplificarmos numerador e denominador por "360").

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.