Question

Verifique, usando argumentos geométricos, que a maior escolha possível para o $\delta$ para que se possa mostrar que $\lim_{x\to3}x^2=9$ é $\delta=\sqrt{9+\epsilon}-3$

Answer 1

Recordemos la definición del límite para esto:

$(\forall \varepsilon\ \textgreater \ 0)(\exists\delta\ \textgreater \ 0):|x-3|\ \textless \ \delta\Longrightarrow |x^2-9|\ \textless \ \varepsilon$

[Véase el gráfico]

Aquí notamos que el intervalo $(\sqrt{9-\varepsilon},\sqrt{9+\varepsilon})\supset (3-\delta,3+\delta)$ por ende podemos hacer que $\delta + 3 = \sqrt{9+\varepsilon}$