Question

Questão 01

Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1,1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação da reta r: 4y-3x-7=0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação da circunferência C: x²+y²- 6x - 8y+5= 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Responda:

a) A equação reduzida da reta r.
b) As coordenadas do centro e o valor do raio da circunferência C.
c) O valor da distância, em km, do centro de C até a reta r.

Instruções:
1) Resolução completa e com explicação;
2) A utilização do LaTeX é obrigatória;
3) Não utilize o espaço destinado para respostas para fazer comentários.

Divirtam-se. :))

Answer 1

a) a equação reduzida é da forma $y=mx+c$.

Portanto,

$r:4y-3x-7=0\\r:4y=3x+7\\\boxed{r:y=\frac{3x}{4}+\frac{7}{4}}$

b) Completemos quadrado.

$x^2+y^2-6x-8y+5=0\\(x^2-6x)+(y^2-8y)+5=0\\(x^2-6x+9)-9+(y^2-8y+16)-16+5=0\\(x-3)^2-9+(y-4)^2-16+5=0\\(x-3)^2+(y-4)^2=9+16-5\\\boxed{(x-3)^2+(y-4)^2=20}$ 

 Isto posto, conclui-se que: o centro vale $c=(3,4)$ e o raio...

$r^2=20\\r^2=4\cdot5\\r=2\sqrt{5}$

c) Como já visto no post anterior, obtemos a distância ponto e recta...

$d_{C,r}=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\d_{C,r}=\frac{|(-3)\cdot3+4\cdot4-7|}{\sqrt{9+16}}\\\\d_{C,r}=\frac{0}{\sqrt{25}}\\\\\boxed{d_{C,r}=0}$