Question

Encontre a distância mínima entre o ponto (−1,−7) e a reta y=−x+6.

Answer 1

Poderia muito bem apenas aplicar a fórmula da distância entre a reta e ponto, mas ela não serve para indicar a distância mínima pois seu resultado é a distância exata entre ambos, ou seja, a distância MÁXIMA.

Irei recorrer a um ponto qualquer no eixo das abscissas para dar a resposta, o mesmo é válido para o eixo das ordenadas. Usarei a abcissa para  pois usarei "x" como referencial. Veja só:

Para o ponto qualquer que chamarei de I(a,b) irei calcular a distância dele até o ponto da questão (-1,-7). Veja:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}d = \sqrt{(x-x_p)^2+(y-y_p)^2} \\\\d = \sqrt{(x+1)^2+(y+7)^2} \end{array}\right$

A questão já isolou y, ou seja, o valor dado para a incógnita será meu valor de y na distância. Veja só:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}d=\sqrt{(x+1)^2+(-x+6+7)^2}\\\\d = \sqrt{(x+1)^2+(-x+13)^2\\\\d = \sqrt{x^2+2x+1+x^2-26x+169}\\\\d = \sqrt{2x^2-24x+170}\end{array}\right$

Derivando esta última equação e determinando a D' = 0. Temos:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}d' = \frac{(4x-24)}{2\sqrt{2x^2-24x+170}} \\\\0 =\frac{(4x-24)}{2\sqrt{2x^2-24x+170}}\\\\4x+24 = 0\\\\4x = 24\\\\\boxed{\boxed{x = 6}}\\\\y = -x+6\\\\y = -6+6\\\\\boxed{\boxed{y = 0}} \end{array}\right$

Agora basta calcular a distância do ponto encontrado ao ponto fornecido pela questão. Veja só:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}d = \sqrt{(6+1)^2+(0+7)^2}\\\\d = \sqrt{7^2+7^2}\\\\d = \sqrt{7^2*(1+1)\\\\\boxed{\boxed{d = 7\sqrt{2}}}\end{array}\right$

A distância mínima é igual a distância máxima, para esta questão.

Espero ter ajudado. :))