Question

Com quantos zeros termina o número 69!(Fatorial)? 

Answer 1

Sabemos que os números que terminam em zero são múltiplos de 10. E o 10 pode ser obtido pelo produto de 2 números. A quantidade de zeros no final é determinado por quantos 10 foram multiplicados, assim:

10 = 1 zero
10 . 10 = 100 => 2 zeros
10 . 10 . 10 = 1000 => 3 zeros 

e assim em diante.

O fatorial é calculado da seguinte forma.

n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n - 2) . (n - 1) . n

Assim:

69! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 7 . 8 . 10 . ... 66 . 67 . 68 . 69

Como podemos perceber aparece o 10 e alguns múltiplos como 20 (2 . 10), 30 (3 . 10), ... , 60 (6 . 10). Logo temos ai 6 vezes o número 10. Vamos procurar mais. Se pegarmos um número par e multiplicarmos por um número terminado em 5 teremos um múltiplo de 10. Assim:

2 . 5 = 10 
4 . 15 = 60 = 6 . 10
8 . 25 = 200 = 2 . 10 . 10 (único caso que vai gerar 2 zeros)
12 . 35 = 420 = 42 . 10
14 . 45 = 630 = 63 . 10
16 . 55 = 880 = 88 . 10
18 . 65 = 1170 = 117 . 10

Temos aqui mais 8 vezes o 10.
Considerando somente as parcelas múltiplos de 10 encontradas teremos 6 + 8 = 14 números 10 que multiplicados teremos o número da forma:

69! = xxxxxxxx00000000000000 (14 zeros)

Logo, o número gerado será terminado com 14 zeros.