Question

2cosx - 3tgx =0, o valor da expressão 4cos²x - 4senx é igual a?.

Answer 1

Olá, Alex.

$2\cos x=3\tan x\Rightarrow 2\cos x=3\cdot\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow 2\cos^2x=3\sin x\Rightarrow\\\\ 2(1-\sin^2x)=3\sin x\Rightarrow 2-2\sin^2x=3\sin x\\\\ \text{Fazendo a mudan\c{c}a de vari\'avel }y=\sin x,\text{temos:}\\\\2-2y^2=3y\Rightarrow 2y^2+3y-2=0\Rightarrow\Delta=9+16=25\Rightarrow\sqrt\Delta=5\Rightarrow\\\\y=\frac{-3\pm5}{4}=\frac12\text{ (desprezamos a raiz de m\'odulo maior que 1)}\\\\\text{Voltando \`a mudan\c{c}a de vari\'avel: }\frac12=\sin x\Rightarrow x=30\º$

$\text{Portanto: }4\cos^2x-4\sin x=4\cos^230\º-4\sin30\º=4\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-4\cdot\frac12=\\\\=4\cdot\frac34-2=3-2=\boxed{1}$

Observação: a raiz de módulo maior que 1 foi desprezada pois os valores da função seno variam entre -1 e 1.