Question

1) Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.
2) A medida da altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
3)Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm.
4)Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triangulo mede:

Answer 1

$1)$ A hipotenusa mede $14cm$. Assim, sendo $b$ e $c$ os catetos do triângulo, temos:
 
$b^{2}=8\times14=112\Rightarrow b=\sqrt{112}$
$c^{2}=6\times14= 84\Rightarrow c=\sqrt{84}$

Utilizando o Teorema de Pitágoras: $112=8^{2}+x^{2}\Rightarrow 112-64=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{48}=\boxed{4\sqrt{3}}$

$2)$ Pelo Teorema de Pitágoras: $9^{2}+12^{2}=x^{2}\Rightarrow \boxed{x=15}$

Como $h^{2}=m\cdot n\Rightarrow 12^{2}=9\cdot n\Rightarrow n=\dfrac{144}{9}=16$. Assim sabemos que a hipotenusa mede $16+9=25cm$

Utilizando novamente o Teorema de Pitágoras temos: $25^{2}=15^{2}+y^{2}\Rightarrow 625=225+y^{2}\Rightarrow \sqrt{400}=y\Rightarrow\boxed{ y=20cm}$

$3)$ $12^{2}=4\times m\Rightarrow \dfrac{144}{4}= \boxed{m=36}$

$12^{2}=4^{2}+c^{2}\Rightarrow 144-16=c^{2}\Rightarrow c=\sqrt{128}$

$12^{2}=\sqrt{128}\times n\Rightarrow \dfrac{144}{4 \sqrt{8}}=\dfrac{36}{\sqrt{8}}=\dfrac{36 \sqrt{8}}{8}=\boxed{n=\dfrac{9\sqrt{8}}{2}}$

$4)$ $m-n=7\Rightarrow m+7=n$

$12^{2}=(m+7)\times m\Rightarrow 144=m^{2}+7m$

Resolvemos a equação do segundo grau, por Bháskara: $m=9$

$n=m+7\Rightarrow n=9+7=16$

Hipotenusa= $m+n$. Portanto:

$16+9=\boxed{25}$

Answer 2

1) o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa

n = 6
m = 8
h = altura

$h^2 = m * n \\ \\ h^2 = 8 * 6 \\ \\ h^2 = 48 \\ \\ h = \sqrt{48} \\ \\ h = 4 \sqrt{3}$

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2) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa:

a = hipotenusa
n = projeção
m = projeção
c = cateto
b = cateto

$h^2 = m * n \\ \\ 12^2 = m * 9 \\ \\ 144 = 9m \\ \\ 9m = 144 \\ \\ m = \dfrac{144}{9} \\ \\ m = 16$

Projeção n =  9 cm
Projeção m =  16 cm
Hipotenusa = 25 cm 
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Medida dos catetos


$b^2 = a * n \\ \\ b^2 = 25 * 9 \\ \\ b^2 = 225 \\ \\ b = \sqrt{225} \\ \\ b = 15 \ cm$

$c^2 = a * m \\ \\ c^2 = 25 * 16 \\ \\ c^2 = 400 \\ \\ c = \sq[tex]c^2 = a * n \\ \\ 4^2 = 12*n \\ \\ 12n = 16 \\ \\ n = \dfrac{16}{12} \\ \\ n = 1,333 \ cm$rt{400} \\ \\ c = 20 \ cm[/tex]

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3) 
Encontrar o outro cateto:

$c^2 = h^2 - c^2 \\ \\ c^2 = 12^2 - 4^2 \\ \\ c^2 = 144 - 16 \\ \\ c^2 = 128 \\ \\ c = \sqrt{128} \\ \\ c = 8 \sqrt{2} \ cm$

Calcular as projeções:

$b^2 = a * n \\ \\ (8 \sqrt{2})^2 = 12*m \\ \\ 12m = (8 \sqrt{2})^2 \\ \\ 12m = 128 \\ \\ m = \dfrac{128}{12} \\ \\ m = 10,666 \ cm$

m + n = hipotenusa
10,666+ 1,333 = 11,999   valor aproximado  , podemos arredondar para 12 cm

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4)

$h^2 = m * n \\ \\ 12^2 = m * m \\ \\ 144 = m*n$


Temos um sistema de equação:

144 = m * n    (I)
m - n = 7        (II)

EM (II)

m = 7 +n
Substitui em (I)

144 = (7 + n) * n
144 = 7n + n² = 0 

-n² - 7n + 144 = 0 ( equação de 2º grau)

Fatorando a equação

-n² - 7x + 144 (-1)
n²  + 7x - 144 = 0
(n - 9)(n + 16)

Igualamos os termos à zero:

n - 9 = 0
n = 9

n + 16 = 0
n = - 16 ( não serve pois é negativo)

Substituindo o valor encontrado para n = 9  em (I)

144 = m * n
144 = m  * 9
m9 = 144
m = 144/9
m = 16

Hipotenusa = m + n

Hipotenusa =  9 + 16
Hipotenusa =  25 cm