Question

(ITA-2008) – Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade ρ, foi determinada que a intensidade é dada por: I = 2π2fxρvay. Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente.

a) x = 2 ; y = 2
b) x = 1 ; y = 2
c) x = 1 ; y = 1
d) x = –2 ; y = 2
e) x = –2 ; y = –2

Gab: C

Minha dúvida é na hora de fazer a análise dimensional da potência para depois igualar com a fórmula dada no enunciado.

P = energia / t ...

Answer 1

Olá, $\mathsf{EM4N03L.}$

Usarei as relações de metragem espacial em função de $\mathsf{\Delta S.}$

Podemos utilizar a definição de potência de um trabalho :

$\mathsf{Pot \ = \ \dfrac{\tau}{\Delta t} \ \rightarrow} \\ \\ \mathsf{Pot \ = \ \dfrac{F \ \cdot \ \Delta S}{\Delta t} \ \rightarrow} \\ \\ \mathsf{Pot \ = \ F \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{\Delta S}{\Delta t}}}_{velocidade \ m\'edia \ ou \ ent\~ao \ instant\^anea}}$

Se pensarmos que, no corpo desenvolvedor dessa potência, a velocidade é média e instantânea, podemos assumir que a mesma varia. Supondo então que seja $\mathsf{F}$ a força que acelera o corpo , ou seja : 

$\mathsf{F \ = \ F_r \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{F \ = \ m \ \cdot \ a}$

Sabendo ainda que a aceleração encontra-se em uma dimensão $\mathsf{a \ = \ \dfrac{\Delta S}{\Delta t^2}}$

$\mathsf{Pot \ = \ \dfrac{m \ \cdot \ \Delta S}{\Delta t^2} \ \cdot \ \dfrac{\Delta S}{\Delta t}}$

$\mathsf{Pot \ = \ \dfrac{m \ \cdot \ \Delta S^2}{\Delta t^3}}$

Dividindo essa potência pela área de propagação, que está na dimensão $\mathsf{A \ = \ \Delta S^2 }$, temos a intensidade da onda:

$\mathsf{I \ = \ \dfrac{Pot}{\Delta S^2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{I \ = \ Pot \ \cdot \ \dfrac{1}{\Delta S^2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{I \ = \ \dfrac{m \ \cdot \ \not{\Delta S^2}}{\Delta t^3} \ \cdot \ \dfrac{1}{\not{\Delta S^2}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{I \ = \ \dfrac{m}{\Delta t^3}}$

Como foi dado que $\mathsf{I \ = \ 2 \ \cdot \ \pi^2 \ \cdot \ f^x \ \cdot \ \rho \ \cdot \ v \ \cdot \ a^y \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{2 \ \cdot \ \pi^2 \ \cdot \ f^x \ \cdot \ \rho \ \cdot \ v \ \cdot \ a^y \ = \ \dfrac{m}{\Delta t^3} \ \rightarrow}$

Dadas as dimensões :

$\mathsf{\circ \ a \ = \ \Delta S;} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ f \ = \ \dfrac{1}{\Delta t};} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ v \ = \ \dfrac{\Delta S}{\Delta t};} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ \rho \ = \ \dfrac{m}{\Delta S^3}}$

$\mathsf{2 \ \cdot \ \pi^2 \ \cdot \ \dfrac{1}{\Delta t^x} \ \cdot \ \dfrac{m}{\Delta S^3} \ \cdot \ \dfrac{\Delta S}{\Delta t} \ \cdot \ \Delta S^y \ = \ \dfrac{m}{\Delta t^3} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{2 \ \cdot \ \pi^2 \ \cdot \ \dfrac{1}{\Delta t^{(x \ + \ 1)}} \ \cdot \ \dfrac{m}{\Delta S^3} \ \cdot \ \ \Delta S^{(y \ + \ 1)} \ = \ \dfrac{m}{\Delta t^3} \ \rightarrow}$

Sendo $\mathsf{2 \ \cdot \ \pi^2}$ uma constante adimensional, para igualarmos as dimensões, temos :

$\mathsf{\Delta t^{(x \ + \ 1)} \ = \ \Delta t^3 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{t \ = \ 2}}$

$\mathsf{\Delta S^{(y \ + \ 1)} \ = \ \Delta S^3 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{y \ = \ 2}}$

Logo, a alternativa correta seria a $\mathsf{a) \ \dots}$ tem certeza de que o gabarito está certo?

Answer 2

Resposta:

Alternativa A)

Explicação:

I = 2π2fxρvay

[I] = Pot/A = ML²T-³/L² = MT–³

[f] = T-¹

[ρ] = ML-³

[v] = LT-¹

[a] = L

MT-³ = (T-¹)^x . ML-³ . LT-¹ . L^y

MT-³ = M . L^-³+¹+y . T^-x-¹

Portanto: y – 2 = 0 ⇒y = 2

–x –1 = –3 ⇒x = 2