Question

DESAFIO: Seja L a medida do lado de um polígono regular de N lados, inscrito em um círculo de raio R. Qual a expressão define L em relação a R?

Answer 1

Consideremos uma circunferência dividida em n partes iguais e a corda AB = Ln um dos lados do polígono regular inscrito nesta circunferência. Vamos chamar o centro da circunferência de O, de modo que o ângulo AÔB será o seu ângulo central, ao qual chamaremos de 2α, e a este ângulo corresponderá o lado AB = Ln. Assim, para cada Ln teremos um ângulo central correspondente a 360º/n.
Traçando-se a bissetriz do ângulo central AOB = 2α, obtemos o ponto médio de AB, que chamaremos de M. Assim, AM = Ln/2.
Como a bissetriz do ângulo central é também sua mediatriz, OM será perpendicular a AB e o triângulo AOM será retângulo no vértice M (OM e AM são seus catetos e R (OA=OB) será a sua hipotenusa). Como o ângulo AÔB = 360º/n, o ângulo AÔM será igual à sua metade ou α = 180º/n.
Assim, usando-se o valor de seno para o ângulo AÔM, temos:
sen180º/n = (Ln/2)/r ou, então, Ln = 2rsen180º/n