Question

Pessoal não consigo entender distancia entre dois pontos em geometria analitica, queria exemplos resolvidos, obrigada :)

Answer 1

A gente usa uma relação (tipo uma fórmula) que você não precisa guardar, mas é bom lembram, pois com ela a gente não precisa ficar fazendo e marcando pontos no plano cartesiano. Ela é assim:

$\boxed{d = \sqrt{(X_{f}-X_{i})^{2}+(Y_{f}-Y_{i})^{2}}}$

Assim vou dar dois tipos de exercícios que costumam ser sobrados:

1) Encontre a distância do ponto A(7,2) até o ponto B(7,4).

Resolução: Basta substituir os pontos dados na "fórmula":

$d = \sqrt{(X_{f}-X_{i})^{2}+(Y_{f}-Y_{i})^{2}} \\\\ d = \sqrt{(7-7)^{2}+(4-2)^{2}} \\\\ d = \sqrt{(0)^{2}+(2)^{2}} \\\\ d = \sqrt{4} \\\\ \boxed{\boxed{d = 2}}$

Às vezes a distância não dá exata. Não fique desesperada, isso é comum. Não quer dizer que o exercício está errado.

Vamos ver um segundo modelo de exercício explorando a matéria:

2) Ache o ponto P ∈ 0x que dista 3√2 unidades do ponto A(5,3).

Resolução: Se o ponto P pertence ao eixo das abscissas, ele tem a forma P(x,0), ou seja, independente de sua posição sua coordenada y vai ser sempre zero e a coordenada x queremos descobrir para determinarmos o ponto. Como a distância já temos, a incógnita será o x e não mais "d":

$d = \sqrt{(X_{f}-X_{i})^{2}+(Y_{f}-Y_{i})^{2}} \\\\ \sqrt{(5-x)^{2}+(3-0)^{2}} = 3\sqrt{2} \\\\ \sqrt{(5-x)^{2}+(3)^{2}} = 3\sqrt{2} \\\\ \sqrt{(5-x)^{2}+9} = 3\sqrt{2} \\\\ \text{elevamos os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz} \\\\ (\sqrt{(5-x)^{2}+9})^{2} = (3\sqrt{2})^{2} \\\\ (5-x)^{2}+9 = 9 \cdot 2 \\\\ 25-10x+x^{2}+9 = 18 \\\\ x^{2}-10x+25+9-18 = 0 \\\\ x^{2}-10x+16 = 0$

Resolvemos a equação agora:

$x^{2}-10x+16 = 0 \\\\ \Delta = b^{2}-4 \cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-10)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (16) \\\\ \Delta = 100-64 \\\\ \Delta = 36 \\\\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{10 \pm 6}{2} \\\\\\ \rightarrow x' = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = \boxed{8} \\\\ \rightarrow x'' = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = \boxed{2}$

Então:

$\boxed{\boxed{P(2,0) \ ou \ P(8,0)}}$


É isso, qualquer dúvida pode perguntar.