Question

Seja o sistema linear
x+y+z=1
x+a2y+z=a2
2x+2y+(3-a)z=b Determine a e b para que o sistema seja possivel e indeterminado

Answer 1

Olá Milena.

Vamos resolver pelo método de Cramer.

Para que o sistema seja SPI o Delta deve ser igual a 0 e os outros deltas que no caso são o X,Y e Z devem também ser iguais 0.

Dado o sistema.

$\left\{ \begin{matrix} x+y+z=1 \\ x+a^2y+z=a^2 \\ 2x+2y+(3-a)z=b \end{matrix} \right.$

Vamos primeiramente calcular o delta.

Basta usar a regra de Sarrus e duplicar as suas primeiras colunas e fazer o produto da diagonal principal menos o da secundária.

$\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^{ 2 } & 1 \\ 2 & 2 & (3-a) \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & a^{ 2 } \\ 2 & 2 \end{matrix}=0$


$3a^{ 2 }-a^{ 3 }+2+2-2a^{ 2 }-2-3+a=0\\ -a^{ 3 }+a^{ 2 }+a-1=0$

Caímos em uma polinômio de grau 3. Precisamos agora utilizar o Briot Rufini para achar as raízes.

$1\quad -1\quad 1\quad 1\quad -1\\ \quad \quad ~~~~~~-1\quad 0\quad 1\quad \quad 0\\ \\ -a^{ 2 }+1=0\quad (-1)\\ \quad a^{ 2 }-1=0\\ a^{ 2 }=1\\ a=\sqrt { 1 } \\ a=1$

Ou seja, o nosso querido a vale 1.

Agora vamos achar o B. Basta calcular um dos deltas, seja o x,y ou z.

Vamos calcular o delta x.

$\Delta x=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix}=0\\ \\ \\ 2+b+2-b-2-2=0\\ 0=0\\ \\ b=0$



Ou seja, o A vale 1 e o B vale 0.