Question

ola será que me podia ajudar ?? tenho de determinar o K de modo que o ponto C(2K, K+1) pertença à mediatriz de (AB) .. A(-1,1) e B(2,-1)??

Answer 1

A mediatriz é uma reta que cruza perpendicularmente o ponto médio de outra reta.

Vamos achar o coeficiente angular da reta q (AB):

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{b}-y_{a}}{x_{a}-x_{b}} = \frac{-1-1}{2-(-1)} = \frac{-2}{2+1} = \boxed{-\frac{2}{3}}$

Como a mediatriz é perpendicular à nossa reta, se multiplicarmos os coeficientes angulares o resultado será -1:

$m_{m} \cdot m_{q} = -1 \\\\ m_{m} \cdot -\frac{2}{3} = -1 \\\\ m_{m} = \frac{-1}{-\frac{2}{3}} \\\\ \boxed{m_{m} = \frac{3}{2}}$

Já sabemos o valor do coeficiente angular da mediatriz, mas temos que ter pois pontos nela pra achar o valor de K, igual fizemos com a primeira. O primeiro ponto é C(2k,k+1) e o outro é o ponto médio:

$P_{m} = (\frac{X_{a}+X_{b}}{2},\frac{Y_{a}+Y_{b}}{2}) \\\\ P_{m} = (\frac{-1+2}{2},\frac{1-1}{2}) \\\\ \boxed{P_{m} = (\frac{1}{2},0)}$

Pelo coeficiente angular:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \\\\ \frac{3}{2} = \frac{(k+1)-0}{(2k)-\frac{1}{2}} \\\\ \frac{3}{2} = \frac{k+1}{\frac{4k-1}{2}} \\\\ k+1 = \frac{3}{2} \cdot (\frac{4k-1}{2}) \\\\ k+1 =\frac{12k-3}{4} \\\\ 4 \cdot (k+1) = 12k-3 \\\\ 4k+4 = 12k-3 \\\\ 12k-4k = 4+3 \\\\ 8k = 7 \\\\ \boxed{\boxed{k = \frac{7}{8}}}$