Question

Na figura a seguir, a área do retângulo sombreado é 1/2, e as curvas são gráficos das funções f(x) = a^x e g(x) = log na base a de x, sendo a um número real positivo e a ≠ 1.
a) o valor de a
b) x tal que g(x) = 1/2

Answer 1

Como tanto o gráfico de  $f(x) = a^x$  como o gráfico de  $g(x)=\log_{a}x$  são decrescentes, notamos que o valor de  $a$ deve estar entre $0$ e $1$, ou seja,

     $0<a<1.$


Sabemos que o gráfico de uma função logarítmica na forma
 
     $g(x)=\log_{a}x$

sempre intercepta o eixo  $x$  sempre no ponto  $x=1.$


Como a função  $g$  é logarítmica e corta o eixo  $x$  no ponto $b$, concluímos que

     $b=1.$


De posse dessa infomação, temos então a área do retângulo:

     $b\cdot h=\dfrac{1}{2}$


Mas  $h=f(b)$,  o que nos permite escrever

     $b \cdot f(b)=\dfrac{1}{2}\\\\\\ b\cdot a^b=\dfrac{1}{2}\\\\\\ 1 \cdot a^1=\dfrac{1}{2}$

     $a=\dfrac{1}{2}$          ✔


b)  Encontrar o valor de  $x$  de modo que  $g(x)=\dfrac{1}{2}:$

     $\log_{\frac{1}{2}}x=\dfrac{1}{2}\\\\\\ x=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{1/2}\\\\\\ x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

     $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$          ✔


Bons estudos! :-)