Question

Circunferência (em anexo)

Answer 1

Segue a imagem em anexo com a resolução.

Foi feito um triângulo retângulo unindo os centros das duas circunferências, formando a hipotenusa e também foi traçado um segmento paralelo a r passando pelo centro D, garantindo que o ângulo α formado no novo triângulo seja o mesmo α pedido.

b) 5/11

Answer 2

Na figura, faça o seguinte:

- A partir dos centros, trace os raios das circunferências perpendicularmente à reta r. Esses raios irão tocar exatamente nos pontos de tangência entre as circunferências e a reta r.

- A semirreta que parte de O e passa por C e D possui um trecho cuja medida não é conhecida. É o trecho que vai de O até encontrar a circunferência menor. Chamemos esta medida de x.

Agora, temos dois triângulos retângulos semelhantes. Vamos montar uma proporção:

$\dfrac{x+3}{x+14} = \dfrac{3}{8}$  →  relacionamos as hiponetusas e os catetos menores

$8x+24=3x+42$

$8x-3x=42-24$

$5x=18$

$x= \dfrac{18}{5}$

Finalmente, como sabemos que, para calcular o seno de um ângulo em um triângulo retângulo, basta fazer a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, temos:

Do triângulo menor:

Cateto oposto a α → $3$

Hipotenusa → $x + 3= \dfrac{18}{5} +3=\dfrac{18+15}{5}=\dfrac{33}{5}$

$sen \alpha = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{3}{ \dfrac{33}{5} } =3.\dfrac{5}{33}=\dfrac{5}{11}$