Question

(Algoritmo de divisibilidade)

a, b ∈ $\mathbb{Z}$ com b > 0.

Portanto existem os inteiros q e r, únicos, tal que:

a = bq + r e 0 ≤ r < b. (Teorema)

Sendo c ∈ $\mathbb{Z}$ e c > 0, suponha que quando q é dividido por c o quociente é k.

Prove que quando a é dividido por bc o quociente também é k.

Answer 1

Olá Vinícius.

Ao dividirmos os inteiros q por c, obtemos um quociente k e pelo teorema existirá um inteiro s tal que.

$\mathsf{q=ck+s~~c > 0~~ e~~0\leq s<c}}$

Queremos provar que quando o inteiro a é dividido pelo inteiro bc o quociente é k.

Sabemos que:

$\mathsf{a = bq + r~~b > 0 ~~e~~ 0 \leq r < b}$

Substituindo q pela primeira igualdade, obtemos.

$\mathsf{a = b\cdot(ck + s) + r}\\\\\mathsf{a = k\cdot(bc) + (bs + r)}$

Como c > s, então c - 1 ≥ s, pois c e s são inteiros. Logo.

c - 1 ≥ s

Como b > 0, temos que.

$\mathsf{b(c - 1) \geq bs}\\\\\mathsf{bc - b \geq bs}$

Some b em ambos os lados.

$\mathsf{bc - b + b \geq bs + b}\\\\\mathsf{bc \geq bs + b}$

Mas como b > r, temos que.

$\mathsf{bs + b > bs + r}$

Logo.

$\mathsf{bc \geq bs + b> bs + r}\\\\\mathsf{bc> bs + r}$

Portanto, na divisão de a por bc por o quociente será k, já que (bs + r) que pela nossa construção equivale ao resto do teorema, é menor que o divisor bc.

Concluindo o que queríamos provar.

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