Question

Como encontrar a identidade tg²x +cotang²x = sen²x . tg²x +cos²x . cotg²x + 1

Answer 1

é uma coisa muito interessante, matemática pura, gostei dessa sua questão ;D

Precisei resolver com um pequeno detalhezinho, que só percebi depois de 20 minutos.

$tan^2(x)+cot^2(x)=sin^2(x)*tan^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+1$

Vamos fazer por indução matemática, primeiro vamos sair de um lado e chegar no outro e depois do outro lado e chegar no outro, vou sair da direita e chegar na esquerda primeiro, aqui foi onde saiu

$sin^2(x)*tan^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+1$

conhecendo a relação trigonométrica

$sin^2(x)+cos^2(x)=1$

podemos transformar esse 1 sozinho ali nisso

$sin^2(x)*tan^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)$

Agora vamos juntar o que tem seno, com o que tem seno e o que tem cosseno com o que tem cosseno

$sin^2(x)*tan^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+cos^2(x)$

Tira em evidência o seno e o cosseno

$sin^2(x)*(tan^2(x)+1)+cos^2(x)*(cot^2(x)+1)$

Agora vamos voltar a relação trigonométrica

$sin^2(x)+cos^2(x)=1$

Divide tudo por $cos^2(x)$

$tan^2(x)+1=\frac{1}{cos^2(x)}$

E agora divide tudo por $sin^2(x)$

$1+cot^2(x)=\frac{1}{sin^2(x)}$

Observe o que temos dentro dos parênteses nessa parte

$sin^2(x)*(tan^2(x)+1)+cos^2(x)*(cot^2(x)+1)$

Não foi essa relação que acabamos de chegar?! Sim foi, agora é só substuir

$sin^2(x)*\frac{1}{cos^2(x)}+cos^2(x)*\frac{1}{sin^2(x)}$

onde

$tan^2(x)=\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}~~e~~cot^2(x)=\frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}$

temos

$\boxed{\boxed{tan^2(x)+cot^2(x)}}$

Agora para fazer o caminho de volta, é usando o mesmo preceito

$tan^2(x)+1=\frac{1}{cos^2(x)}$

$cos^2(x)+sin^2(x)=1$

$1+cot^2(x)=\frac{1}{sin^2(x)}$

agora vamos lá...

$tan^2(x)+cot^2(x)$

abrindo

$\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+\frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}$

$sin^2(x)*\frac{1}{cos^2(x)}+cos^2(x)*\frac{1}{sin^2(x)}$

$sin^2(x)*(tan^2(x)+1)+cos^2(x)*(cot^2(x)+1)$

$sin^2(x)*tan^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+cos^2(x)$

$sin^2(x)*tan^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)$

$\boxed{\boxed{sin^2(x)*tan^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+1}}$

Como queríamos demonstrar a identidade trigonométrica.

Portanto $tan^2(x)+cot^2(x)=sin^2(x)*tan^2(x)+cos^2(x)*cot^2(x)+1$ é uma verdade ;D