Question

I - Sendo f(x,y) = x² + y³ e x = sen (t), y = cos (t), a derivada de f(x,y) em relação a “t” é igual a 2.sen (t).cos (t) - 3.cos² (t).sen (t). II - Sendo f(x,y,z) = x + 2y² + 3z³ e x = u, y = v, z = u.v, as derivadas de f(x,y,z) em relação a “u” e a “v” são iguais. III - f(x,y,z) = x² – y + z² tem vetor gradiente ∇f = (2, -1, 2) no ponto P (1,1,1). IV - A derivada direcional de f(x,y) = x²y² no ponto P(1,1) e na direção do vetor v = (1,1) é igual a 4. Assinale a alternativa correta. ALTERNATIVAS Apenas I está correta. Apenas I e II estão corretas. Apenas II e III estão corretas. Apenas I e III estão corretas. I, II, III e IV estão corretas.

Answer 1

(I) V
$df = f_x~dx+f_y~dy\to \dfrac{df}{dt}= f_x~x_t+f_y~y_t\\ \\ f_t=2x\cdot x_t+3y^2\cdot y_t\\ \\ f_t=2x\cos t-3y^2\sin t= 2\sin t\cos t-3\cos^2t\sin t$

(II)F
$f_u = f_x~x_u+f_y~y_u+f_z~z_u\\ \\ f_u= x_u+4yy_u+9z^2z_u\\ \\ f_u=1+9(uv)^2v=1+9u^2v^3\\ \\ ======================\\\\ f_v = f_x~x_v+f_y~y_v+f_z~z_v\\ \\ f_v= x_v+4yy_v+9z^2z_v\\ \\ f_v=4v+9u^3v^2$

(III)V
$\nabla f= (f_x,f_y,f_z)=(2x,-1,2z)\to \nabla f(1,1,1)=(2,-1,2)$

(IV)F
$\nabla f (x,y)\cdot \vec{u}_{\vec{v} }= (2xy^2,2x^2y)\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1)=\dfrac{1}{\sqrt2}(2xy^2+2x^2y)\\ \\ \\ \nabla f (1,1)\cdot \vec{u}_{\vec{v} }=\dfrac{4}{\sqrt2}$