Question

Determine o valor de k, para o qual v1=(2,1,3), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,k), não geram R3.

Answer 1

Olá!

    Seja  (x, y, z) um ponto qualquer, não nulo, do  $\mathbb{R}^3$  .
    Se os vetores dados formam um gerador do  $\mathbb{R}^3$  , então existem 

$\alpha, \beta, \gamma \in\mathbb{R}:(x,y,z)=\alpha v1+\beta v2 + \gamma v3$ .

Ou seja, 

  $\left\{\begin{array}{lcr}2\alpha+\beta +\gamma & = & x\\ \alpha + \gamma &=& y\\ 3\alpha+\beta +k\gamma &=&z \end{array}\right. \\ \\ \text{Esse sistema ter\'a solu\c c\~ao se a matriz dos coeficientes tiver}\\ \text{determinante \geqslant 0 . Temos:} \det \left[\begin{array}{lcr}2 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & k\end{array}\right]= 3+1-(2+k) = k+2.$

 Logo, para que não gere, devemos forçar para que este sistema não tenha solução, isto é, deve-se ter  $k+2<0,\;\text{ou seja,}\;k<-2$.


Bons estudos!