Question

DADOS UM CÍRCULO QUALQUER. MOSTRE QUE SE UM RAIO É PERPENDICULAR A UMA CORDA ENTÃO ELE A DIVIDE EM DOIS SEGMENTOS CONGRUENTES

Answer 1

Veja a figura anexa. Sendo o raio $\overline{CD}$ perpendicular à corda $\overline{AB}$, pode-se formar um triângulo $ACB$ cujos vértices são as extremidades da corda e o centro do círculo.

Temos que ambos os lados $\overline{CA}$ e $\overline{CB}$ são raios do círculo. Assim, o triângulo $ACB$ é um triângulo isósceles, pois dois de seus lados são iguais ao raio $r$ do círculo.

Sendo o triângulo $ACB$ isósceles, cuja base é a corda $\overline{AB}$, utilizaremos uma propriedade comum a todos os triângulos isósceles:

"Em um triângulo isósceles, a altura, a mediana e a bissetriz em relação à base coincidem, ou seja, são segmentos de reta coincidentes"

Assim, temos que

Se $\overline{CM}$ é a altura do triângulo $ACB$ em relação à base $\overline{AB}$, então $\overline{CM}$ também é a mediana do triângulo $ACB$ em relação à base $\overline{AB}$. Isso significa, pela definição de mediana, que o raio $\overline{CD}$ (que contém o segmento $\overline{CM}$) divide a corda $\overline{AB}$ em dois segmentos congruentes, como queríamos demonstrar.

Segue em anexo a figura com a ilustração.