Question

calcule Lim x elevado a n - p elevado a n dividido por x -p. n pertence aos naturais

Answer 1

Queremos calcular o seguinte limite:

$\underset{x\to p }{\mathop{\lim }}\,\frac{ \sqrt[n]{x}- \sqrt[n]{p} }{x-p}\ \ \ \text{(i)}$

Para isso, vamos fazer as seguintes substituições para facilitar o cálculo:

$a= \sqrt[n]{p} \Rightarrow p=a^{n} \\ u= \sqrt[n]{x} \Rightarrow x=u^{n}$

Assim, temos que $u \to a$ quando $x \to p$. Fazendo as seguintes substituições, temos que calcular o seguinte limite:

$\underset{u\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{u-a}{u^{n}-a^{n}}\ \ \ \text{(ii)}$

Reparem que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios em $u$, onde $a$ é uma raiz. Assim, podemos fatorar o numerador e o denominador por $(u-a)$.

Utilizando a divisão de polinômios, fatorando o denominador temos:

$u^{n}-a^{n}=(u-a) \cdot (u^{n-1}+a^{1}u^{n-2}+a^2u^{n-3}+...+a^{n-3}u^{2}+a^{n-2}u^{1}+a^{n-1})\\ \\ u^{n}-a^{n}=(u-a) \cdot\sum_{i=1}^{n}{a^{i-1} u^{n-i}}$

Substituindo no limite $\text{(ii)}$, temos

$\underset{u\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(u-a)}{(u-a) \cdot\sum_{i=1}^{n}{a^{i-1} u^{n-i}}}= \underset{u\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}{a^{i-1} u^{n-i}}}\\ \\ =\frac{1}{\underbrace{{{a}^{0}}{{a}^{n-1}}+{{a}^{1}}{{a}^{n-2}}+{{a}^{2}}{{a}^{n-3}}+...+{{a}^{n-3}}{{a}^{2}}+{{a}^{n-2}}{{a}^{1}}+{{a}^{n-1}}{{a}^{0}}}_{n\text{ parcelas}}}\\ \\ =\frac{1}{\underbrace{{{a}^{n-1}}+{{a}^{n-1}}+{{a}^{n-1}}+...+{{a}^{n-1}}+{{a}^{n-1}}+{{a}^{n-1}}}_{n\text{ parcelas}}}\\ \\ =\frac{1}{n \cdot a^{n-1}}$

Substituindo de volta $a=\sqrt[n]{p}$, chegamos a

$=\frac{1}{n \cdot \left( \sqrt[n]{p}\right )^{n-1}}\\ \\ =\frac{1}{n \cdot p^{\left(\frac{n-1}{n}\right)}}\\ \\ =\frac{1}{n \cdot p^{\left(1-\frac{1}{n}\right)}}$

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$\underset{x\to p}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{p}}{x-p}==\frac{1}{n \cdot p^{\left(1-\frac{1}{n}\right)}}$