Question

Olá . Serei eternamente grato áquele que puder (ou quiser) responder a questão que disponibilizo como anexo nesta pergunta.

Answer 1

Infelizmente, não conheço nenhum método mais eficiente para contar o total, a não ser listar todos eles. Temos a seguinte condição

$x,y,z \in \mathbb{Z}_*^{+}$, que é o conjunto dos inteiros positivos, ou seja

$x,y,z \in \{1,2,3,4,...\}$

Nota-se que é impossível que uma das parcelas da soma seja maior ou igual a $5$, pois não restariam possibilidades para encaixar as outras duas parcelas, do contrário, a soma sempre ultrapassaria o valor $6$. Assim, a nossa condição inicial se reduz a

$x,y,z \in \{1,2,3,4\}$

O conjunto que descreve todas as ternas possíveis é

$S=\left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{1,2,3,4\}\text{ e }x+y+z=6\right\}$

Para o 1º número temos $4$ possibilidades;
Para o 2º número temos $4$ possibilidades;
Para o 3º número temos $4$ possibilidades.

Assim, o total de possibilidades a serem testadas é

$4 \times 4 \times 4=64 \text{ possibilidades}$

Mas não se espante! Grande parte dessas possibilidades serão descartadas ao decorrer da resolução. Podemos pensar da seguinte forma. Escolhendo a primeira parcela da soma dentre os elementos do conjunto $\{1,2,3,4\}$, podemos escrever a soma da primeira parcela com a parte que falta para chegar a $6$. Assim

$6=1+5\\ 6=2+4\\ 6=3+3\\ 6=4+2$

Note que eu não escrevi a soma $6=5+1$, pois $5$, que é a primeira parcela da soma, não pertence ao conjunto de possibilidades $\{1,2,3,4\}$.

Assim, escrevendo as partes que faltam, respectivamente, temos

para soma restante $5$:

$\left.\begin{matrix} 5=1+4\\ 5=2+3\\ 5=3+2\\ 5=4+1 \end{matrix}\right\}\text{ (4 possibilidades)}$


para soma restante $4$:

$\left.\begin{matrix} 4=1+3\\ 4=2+2\\ 4=3+1 \end{matrix}\right\}\text{ (3 possibilidades)}$


para soma restante $3$:

$\left.\begin{matrix} 3=1+2\\ 3=2+1 \end{matrix}\right\}\text{ (2 possibilidades)}$


para soma restante $2$:

$\left.\begin{matrix} 2=1+1\\ \end{matrix}\right\}\text{ (1 possibilidade)}$


Então

$\ \ \ \text{(i)}$ para a soma $6=1+5$, temos

$\left.\begin{matrix} 6=1+(1+4)\\ 6=1+(2+3)\\ 6=1+(3+2)\\ 6=1+(4+1) \end{matrix}\right\}\text{ (4 possibilidades)}$


$\ \ \ \text{(ii)}$ para a soma $6=2+4$, temos

$\left.\begin{matrix} 6=2+(1+3)\\ 6=2+(2+2)\\ 6=2+(3+1) \end{matrix}\right\}\text{ (3 possibilidades)}$


$\ \ \ \text{(iii)}$ para a soma $6=3+3$, temos

$\left.\begin{matrix} 6=3+(1+2)\\ 6=3+(2+1) \end{matrix}\right\}\text{ (2 possibilidades)}$


$\ \ \ \text{(iv)}$ para a soma $6=4+2$, temos

$\left.\begin{matrix} 6=4+(1+1)\\ \end{matrix}\right\}\text{ (1 possibilidade)}$


O conjunto $S$ de possibilidades para as ternas $(x,y,z)$ é

$S=\{(1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),\\ (2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)\}$


Assim o total de possibilidades para as soluções $(x,y,z) \in S$ é a quantidade de elementos de $S$ que é dada por

$\text{n}(S)=10 \text{ solu\c {c}\~{o}es}$


Obs.: Não encontrei essa alternativa. Talvez eu esteja errado, apesar de achar ter listado todas as possibilidades possíveis.