Question

Um livro tem 235 paginas. Considere que apenas as paginas que possuem 3 algarismos distintos apresentam rasuras. O número de páginas rasuradas desse livro é igual a?

Preciso da solução do problema para entendê-lo.

Answer 1

É um problema de contagem. Então, a pergunta é:
Quantos números de três algarismos distintos existem entre 100 e 235 (inclusive)?

Temos três posições para os dígitos, mas queremos saber quantas possibilidades existem para cada posição. Atenção! Ao fixar um dígito em determinada posição, devemos retirá-lo da nossa lista de possibilidades, para evitar que haja repetição.

Desconsiderando as restrições, a lista de possibilidades para os dígitos é o conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Vamos começar com o dígito das centenas:

$\text{(1) }$  Dígito das centenas igual a $1$:

$1\ \underline{\ ?\ }\ \underline{\ ?\ }$

Para o segundo dígito (dígito das dezenas) temos $\text{n}\left( \{0,2,3,4,5,6,7,8,9\}\right )=9\text{ possibilidades}$

Para o terceiro dígito (dígito das unidades) temos $9-1=8 \text{ possibilidades}$, pois não há repetição de dígitos.

Assim, para as centenas que iniciam com o dígito $1$, temos $9 \times 8=72\text{ possibilidades}$.


$\text{(2) }$  Dígito das centenas igual a $2$:

$2\ \underline{\ ?\ }\ \underline{\ ?\ }$

Como queremos saber somente até o número $235$, temos três possibilidades para o dígito das dezenas:

$\text{(2.a) }$  Dígito das dezenas igual a $0\text{ (zero)}$:

$2\ \underline{\ 0\ }\ \underline{\ ?\ }$

As possibilidades para o terceiro dígito (dígito das unidades) são

$\text{n}\left( \{1,3,4,5,6,7,8,9\}\right )=8\text{ possibilidades}$

$\text{(2.b) }$  Dígito das dezenas igual a $\text{1}$:

$2\ \underline{\ 1\ }\ \underline{\ ?\ }$

As possibilidades para o dígito das unidades, nesse caso são

$\text{n}\left( \{0,3,4,5,6,7,8,9\}\right )=8\text{ possibilidades}$

$\text{(2.c) }$  Dígito das dezenas igual a $\text{3}$:

$2\ \underline{\ 3\ }\ \underline{\ ?\ }$

Como só estamos interessados até o número $235$, o número de possibilidades para o dígito das unidades é

$\text{n}\left( \{0,1,4,5\}\right )=4\text{ possibilidades}$


Logo, o total de de páginas rasuradas é

$\text{n}\left(1\ \underline{\ ?\ }\ \underline{\ ?\ } \right)+\text{n}\left(2\ \underline{\ 0\ }\ \underline{\ ?\ } \right)+\text{n}\left(2\ \underline{\ 1\ }\ \underline{\ ?\ } \right)+\text{n}\left(2\ \underline{\ 3\ }\ \underline{\ ?\ } \right)\\ \\ =72+8+8+4=92 \text{ p\'{a}ginas rasuradas}$