Question

(CESGRANRIO) “Quanto maior a compra?
(CESGRANRIO) Na operação a seguir, A, B, C, D e E são algarismos distintos.
Nos numerais ABE, ACE e ADE, o algarismo A ocupa
a ordem das centenas, e o algarismo E, a ordem das
unidades.

A B E + A C E + A D E =2 0 1 4

A soma A + B + C + D + E vale

(A) 33
(B) 32
(C) 31
(D) 30
(E) 29

Answer 1

Sendo $A,B,C,D,E$ algarismos, então

$A,B,C,D,E \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Vamos reescrever os números $ABE$, $ACE$ e $ADE$ utilizando a notação de somas de potências de base $10$, que é a base do nosso sistema de numeração. Assim

$ABE=A \times 100+B \times 10+E \ \ \ \text{(i)}\\ \\ ACE=A \times 100+C \times 10+E \ \ \ \text{(ii)}\\ \\ ADE=A \times 100+D \times 10+E \ \ \ \text{(iii)}$

Podemos reescrever as equações acima mais simplificadamente. Assim

$ABE=100A+10B+E \ \ \ \text{(i)}\\ \\ ACE=100A+10C+E \ \ \ \text{(ii)}\\ \\ ADE=100A+10D+E \ \ \ \text{(iii)}$

Somando as equações $\text{(i)}$, $\text{(ii)}$ e $\text{(iii)}$, membro a membro, temos

$ABE+ACE+ADE=100A+100A+100A+10B+10C+10D+E+E+E\\ \\ ABE+ACE+ADE=300A+10B+10C+10D+3E\\ \\ ABE+ACE+ADE=300A+10(B+C+D)+3E \ \ \ \text{(iv)}$

Mas o lado esquerdo da igualdade acima é igual a $2014$. Então, fazendo a substituição, chegamos a

$2014=300A+10(B+C+D)+3E\ \ \ \text{(v)}$

Seja $B+C+D=F$. Substituindo $F$ e subtraindo $1$ em ambos os lados da igualdade temos:

$2014-1=300A+10F+3E-1\\ \\ 2013=300A+10F+3E-1\\ \\ 2013-300A-3E=10F-1\\ \\ 3 \times (671-100A-E)=10F-1\ \ \ \text{(vi)}$

Logo, o número $10F-1$ deve ser múltiplo de $3$, e como $F$ é a soma de três algarismos, devemos ter

$0+0+0 \leq F \leq 9+9+9\\ \\ 0 \leq F \leq 27$

Da condição acima e para satisfazer a condição de que $10F-1$ é múltiplo de $3$, concluímos então que

$F \in \{1,4,7,10,...,19,22,25\}$

isto é, todos os números entre $0$ e $27$ que deixam resto $1$ na divisão por $3$.

Devemos ter também, $A \leq 6$, pois, pela equação $\text{(v)}}$, se ocorrer o contrário, a igualdade se torna impossível de ser satisfeita. Assim

$A \in \{0,1,2,3,4,5,6\}$

Atribuindo o valor máximo para $A$

$A=6$

e percorrendo as possibilidades para os valores de $F$ no conjunto $\{1,4,7,10,...,19,22,25\}$ , do maior para o menor elemento, até que a diferença para $2014$ seja um múltiplo de $3$ que possa ser escrito na forma $3E$, onde $E \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, chegamos a

$2014=300\times \underbrace{6}_{A}+10\times \underbrace{19}_{F}+3\times \underbrace{8}_{E}$

que é uma equação que tem a mesma forma da equação $\text{(v)}$.

Para garantir que $B,C,D$ são algarismos distintos, basta verificar a existência de uma combinação de três algarismos distintos, cuja soma dê $19$. Por exemplo, podemos fazer

$B=3\\ C=7\\ D=9$

e garantimos a condição de que

$A \neq B \neq C \neq D \neq E$

Então, sendo

$A=6\\ B=3\\ C=7\\ D=9\\ E=8$

temos

$A+B+C+D+E\\ =A+(B+C+D)+E\\ =A+F+E\\ =6+19+8 \Rightarrow A+B+C+D+E=33$

A resposta é a alternativa $\text{(A)}$.

Answer 2

Pelo método do raciocínio lógico fica fácil. Perceba! Os nº são distintos mas, por alguns serem iguais, significa que os valores tbm são! Sendo assim, começaremos com o (E). Qual o nº que multiplicado três vezes dá (4) na unidade? É 8, pois 3x8=24. OK! Continuando; o (A) tbm repete três vezes, então seguindo o raciocínio da letra (E), só pode ser (6) mas, para dar resultado (20) tem que ser adicionado com (2), então fica:  3x6=18 + 2 = 20. OK! Pronto, o SUDOKU foi resolvido! Com o (2) que subiu do (24), a dezenas que faltam é (B, C, D), não importará a ordem, pois não é isso que se pede. Conclusão: os nº (9, 7, 3) somado ao (2) que subiu da dezena (24), a soma resulta em (21), subindo seguida o (2), adiciona ao (18) resulta no (20), explicado na linha de cima.

Resposta final: (A=6; B=9; C=7; E=8; D=3) => LETRA (A) 33