Question

Ajudem-me não sei esse exercicio: A figura abaixo mostra uma folha circular de zinco de onde foi recortada a região triangular equilátera colorida.Calcule a área dessa região triangular (obs: a cor não saiu na imagem ok)?
Utilize a formula da imagem

Answer 1

Anexei uma figura para melhor compreensão da resolução.

A área de um triângulo qualquer é dada por

$A_{\Delta}=\frac{b\cdot h}{2}$

onde $b$ é a base e $h$ é a altura do triângulo relativa a esta base.

No caso do triângulo equilátero da figura, a base é igual ao lado $\ell$ e a altura é $h=a+r$.

Então, a área do triângulo equilátero da figura é

$A_{\Delta}=\frac{b\cdot h}{2}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{\ell \cdot \left(a+r \right )}{2}\text{ \;\;\;\;(i)}$

Mas, temos que

$\begin{cases} a=\frac{r}{2}\\ \ell=r\sqrt{3} \end{cases}$

Substituindo na equação $\text{(i)}$, temos

$A_{\Delta}=\frac{\overbrace{\left(r\sqrt{3} \right )}^{\ell} \cdot \left[\overbrace{\left( \frac{r}{2}\right )}^{a}+r \right ]}{2}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{r\sqrt{3}\cdot \left[ \frac{r}{2}+r\right]}{2}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{r\sqrt{3}\cdot \left[ \frac{r+2r}{2}\right]}{2}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{r\sqrt{3}\cdot \left[ \frac{3r}{2}\right]}{2}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{r\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3r}{2}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{3r^{2}\sqrt{3}}{4}\text{ \;\;\;\;(ii)}$

Substituindo o valor de $r=20\text{ cm}$ na equação $\text{(ii)}$ acima, temos

$A_{\Delta}=\frac{3\cdot(20)^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}\\ \\ A_{\Delta}=\frac{3\cdot 400\cdot \sqrt{3}}{4}\\ \\ A_{\Delta}=3 \cdot 100 \cdot \sqrt{3}\\ \\ A_{\Delta}=300\sqrt{3}\text{ cm}^{\text{2}} \approx 519,6 \text{ cm}^{\text{2}}$